Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
(7) lim x 2 x-2sen(x^2-4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular . Vamos usar conceitos de limites e funções trigonométricas, especialmente a propriedade de que é aproximadamente igual a quando está perto de 0. Vamos precisar entender como se comportam as funções no vizinho de 2 para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando 2-2sin(2^2 - 4) = 0sin(0) = 00 se aproxima de 2 na expressão . Substituindo , temos:
Isso nos dá uma forma indeterminada , então precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos simplificar o argumento do seno. Observe que:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Então, temos:
sin(x^2 - 4) = sin((x - 2)(x + 2))
Quando sin((x - 2)(x + 2)) approx (x - 2)(x + 2) se aproxima de 2, se aproxima de 0, então o produto também se aproxima de 0. Nesse caso, podemos usar a aproximação para pequeno. Assim:

Passo 4

Substituindo essa aproximação na nossa expressão original, temos:
x - 2sin(x^2 - 4) approx x - 2(x - 2)(x + 2) = 1x + 2
Agora, podemos calcular o limite de limx to 2 1x + 2 = 12 + 2 = 14 quando se aproxima de 2:

Resposta

O limite é igual a .

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