Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
(7)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular
. Vamos usar conceitos de limites e funções trigonométricas, especialmente a propriedade de que
é aproximadamente igual a
quando
está perto de 0. Vamos precisar entender como se comportam as funções no vizinho de 2 para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando
se aproxima de 2 na expressão
. Substituindo
, temos:
Isso nos dá uma forma indeterminada
, então precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos simplificar o argumento do seno. Observe que:
Então, temos:
Quando
se aproxima de 2,
se aproxima de 0, então o produto
também se aproxima de 0. Nesse caso, podemos usar a aproximação
para
pequeno. Assim:
Passo 4
Substituindo essa aproximação na nossa expressão original, temos:
Agora, podemos calcular o limite de
quando
se aproxima de 2:
Resposta
O limite
é igual a
.