Compare as curvas representadas pelas parametrizações. Em que elas diferem?


Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para comparar três curvas que são definidas por diferentes parametrizações e identificar em que elas diferem. A matéria que estamos lidando aqui é Geometria Analítica, mais especificamente curvas parametrizadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar essas parametrizações em equações cartesianas (isto é, relacionando e diretamente) e então comparar as características dessas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para cada uma das parametrizações e convertê-las para a forma cartesiana. Isso vai facilitar a visualização e comparação das curvas.
Primeira Parametrização:
Aqui, o é simplesmente igual a . Podemos substituir por na segunda equação:
Então, a primeira curva é a parábola .
Segunda Parametrização:
Aqui, temos . Sabemos que . Como , podemos substituir:
Então, a segunda curva também é a parábola . Porém, vamos prestar atenção nos valores que pode assumir. Como é sempre positivo para qualquer real, aqui .
Terceira Parametrização:
Vamos simplificar a expressão para . Sabemos que , então:
Como , substituindo temos:
Portanto, a terceira curva também é a parábola . Mas, diferente das anteriores, está limitado a .

Passo 3

Agora que já convertemos todas as parametrizações para a forma cartesiana , percebemos que todas representam a mesma forma geral de curva: uma parábola. Contudo, a diferença está nos domínios de para cada parametrização.
  • Primeira Curva: pode ser qualquer número real ( ), então também pode ser qualquer número real. Isso significa que a parábola está definida para todos os valores de , positivos e negativos.
  • Segunda Curva: Aqui, e como a função exponencial nunca é negativa, apenas valores positivos de são permitidos ( ).
  • Terceira Curva: Com , está restrito ao intervalo de -1 a 1 ( ).

Passo 4

Além dos domínios, podemos pensar na traversed path (como a curva é percorrida conforme o parâmetro varia):
  • Primeira Curva: Conforme aumenta de a , também varia de a , cobrindo toda a parábola de baixo para cima.
  • Segunda Curva: Como só é positivo, a curva cobre apenas a parte direita da parábola, de para positivo, à medida que varia.
  • Terceira Curva: oscila entre -1 e 1, então a curva cobre apenas o trecho da parábola entre e , repetindo esse movimento conforme continua a variar.

Resposta

Todas as três parametrizações representam a parábola , porém diferem nos domínios de :
  1. Primeira Curva: Definida para todos os reais ( ).
  2. Segunda Curva: Restrita a devido à função exponencial.
  3. Terceira Curva: Limita-se a por causa da função seno.

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, você deve:
  • Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
  • Esboçar as curvas no plano cartesiano;
  • Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
Nos itens abaixo, você deve:
  • Eliminar o parâmetro das equações paramétricas (quando possível);
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  • Indicar com uma seta a direção em que a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
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Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
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