Complete quadrados e use uma substituição adequada para calcular:
Passo 1
Beleza! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo Integral, mais especificamente sobre completar quadrados e fazer substituições adequadas para resolver integrais. O problema que vamos resolver é:
Para resolver isso, vamos precisar saber como completar quadrados em expressões algébricas e entender um pouco sobre substituições trigonométricas que ajudam a simplificar integrais que envolvem raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos completar o quadrado na expressão dentro da raiz:
. Completar o quadrado ajuda a reescrever a expressão de uma forma que seja mais fácil de integrar.
Vamos reorganizar a expressão:
Agora, vamos fatorar o coeficiente de
:
Para completar o quadrado dentro dos parênteses, adicionamos e subtraímos o termo necessário:
Então, substituindo de volta:
Portanto:
Passo 3
Agora que temos a expressão dentro da raiz como
, isso se parece com a forma
, que é uma expressão que podemos resolver usando substituição trigonométrica.
Vamos fazer a seguinte substituição:
Dessa forma,
varia de modo que
esteja entre -1 e 1, o que é compatível com os limites de integração.
Vamos encontrar
em termos de
:
Também, expressamos
em termos de
:
Agora, substituímos tudo na integral original:
Passo 4
Vamos simplificar a integral
. Uma identidade trigonométrica que nos ajuda aqui é:
Então, substituindo na integral:
Integrando termo a termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, precisamos voltar às variáveis originais. Lembrando que fizemos a substituição
. Portanto:
E
Mas como vamos calcular a integral definida de 0 a 1, precisamos ajustar os limites de integração.
Quando
:
Quando
:
Então, a integral definida fica:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Decida se as sequencias abaixo convergem ou divergem; quando a sequência for convergente, encontre o seu limite [faça o mesmo para as sequências do item 3)]:
(u)
(u)
Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
(2)
(2)
Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
(4)
(4)
(2.5 pt) Nos exemplos abaixo, identifique qual é um grupo e qual não é (Justifique a sua resposta):