Complete quadrados e use uma substituição adequada para calcular: integral0^1 raiz2 x-x^2 d x

Passo 1

Beleza! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo Integral, mais especificamente sobre completar quadrados e fazer substituições adequadas para resolver integrais. O problema que vamos resolver é:
integral0^1 raiz2x - x^2 , dx
Para resolver isso, vamos precisar saber como completar quadrados em expressões algébricas e entender um pouco sobre substituições trigonométricas que ajudam a simplificar integrais que envolvem raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado na expressão dentro da raiz: 2x - x^2 = -x^2 + 2x . Completar o quadrado ajuda a reescrever a expressão de uma forma que seja mais fácil de integrar.
Vamos reorganizar a expressão:
- x^2 + 2x = - (x^2 - 2x)
Agora, vamos fatorar o coeficiente de x^2 - 2x = (x^2 - 2x + 1) - 1 = (x - 1)^2 - 1 :
- (x^2 - 2x) = -( (x - 1)^2 - 1 ) = - (x - 1)^2 + 1 = 1 - (x - 1)^2
Para completar o quadrado dentro dos parênteses, adicionamos e subtraímos o termo necessário:
2x - x^2 = 1 - (x - 1)^2
Então, substituindo de volta:
Portanto:

Passo 3

Agora que temos a expressão dentro da raiz como x - 1 = sintheta , isso se parece com a forma dx = costheta , dtheta , que é uma expressão que podemos resolver usando substituição trigonométrica.
Vamos fazer a seguinte substituição:
raiz1 - (x - 1)^2 = raiz1 - sin^2theta = costheta
Dessa forma, integral0^1 raiz2x - x^2 , dx = integral costheta cdot costheta , dtheta = integral cos^2theta , dtheta varia de modo que esteja entre -1 e 1, o que é compatível com os limites de integração.
Vamos encontrar em termos de :
Também, expressamos em termos de :
Agora, substituímos tudo na integral original:

Passo 4

Vamos simplificar a integral cos^2theta = 1 + cos(2theta)2 . Uma identidade trigonométrica que nos ajuda aqui é:
integral cos^2theta , dtheta = integral 1 + cos(2theta)2 , dtheta = 12 integral 1 , dtheta + 12 integral cos(2theta) , dtheta
Então, substituindo na integral:
12 theta + 14 sin(2theta) + C
Integrando termo a termo:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, precisamos voltar às variáveis originais. Lembrando que fizemos a substituição theta = arcsin(x - 1) . Portanto:
0 - 1 = sintheta Rightarrow theta = -pi2
E 1 - 1 = sintheta Rightarrow theta = 0
Mas como vamos calcular a integral definida de 0 a 1, precisamos ajustar os limites de integração.
Quando [ 12 theta + 14 sin(2theta) ]-pi2^0 :
12(0) + 14 sin(0) = 0
Quando 12(-pi2) + 14 sin(-pi) = -pi4 + 0 = -pi4 :
0 - (-pi4) = pi4
Então, a integral definida fica:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

O valor da integral é .

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