Complete quadrados e use uma substituição adequada para calcular:

Passo 1

Beleza! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo Integral, mais especificamente sobre completar quadrados e fazer substituições adequadas para resolver integrais. O problema que vamos resolver é:
Para resolver isso, vamos precisar saber como completar quadrados em expressões algébricas e entender um pouco sobre substituições trigonométricas que ajudam a simplificar integrais que envolvem raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado na expressão dentro da raiz: . Completar o quadrado ajuda a reescrever a expressão de uma forma que seja mais fácil de integrar.
Vamos reorganizar a expressão:
Agora, vamos fatorar o coeficiente de :
Para completar o quadrado dentro dos parênteses, adicionamos e subtraímos o termo necessário:
Então, substituindo de volta:
Portanto:

Passo 3

Agora que temos a expressão dentro da raiz como , isso se parece com a forma , que é uma expressão que podemos resolver usando substituição trigonométrica.
Vamos fazer a seguinte substituição:
Dessa forma, varia de modo que esteja entre -1 e 1, o que é compatível com os limites de integração.
Vamos encontrar em termos de :
Também, expressamos em termos de :
Agora, substituímos tudo na integral original:

Passo 4

Vamos simplificar a integral . Uma identidade trigonométrica que nos ajuda aqui é:
Então, substituindo na integral:
Integrando termo a termo:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, precisamos voltar às variáveis originais. Lembrando que fizemos a substituição . Portanto:
E
Mas como vamos calcular a integral definida de 0 a 1, precisamos ajustar os limites de integração.
Quando :
Quando :
Então, a integral definida fica:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Decida se as sequencias abaixo convergem ou divergem; quando a sequência for convergente, encontre o seu limite [faça o mesmo para as sequências do item 3)]:
(u)
Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
(2)
Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
(4)
(2.5 pt) Nos exemplos abaixo, identifique qual é um grupo e qual não é (Justifique a sua resposta):