Calcule os limites abaixo:

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de logaritmos e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o limite que queremos encontrar de :
Para facilitar o cálculo, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente, temos:
Agora, precisamos calcular o limite de quando tende a infinito.

Passo 4

Sabemos que, quando cresce muito, cresce mais lentamente do que . Matemáticamente, isso significa que:
Portanto:

Passo 5

Para encontrar , vamos reverter o logaritmo natural. Se , então:

Resposta

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Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical e oblíqüa, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo.
Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical e oblíqüa, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo.
Calcule as derivadas abaixo:
Calcule as derivadas abaixo: