Calcule os limites abaixo:
(d) lim x +infty x^1x

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de logaritmos e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o limite que queremos encontrar de L = limx +infty x^1x :
ln L = limx +infty ln(x^1x)
Para facilitar o cálculo, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente, temos:
ln L = limx +infty 1x ln x
Agora, precisamos calcular o limite de quando tende a infinito.

Passo 4

Sabemos que, quando limx +infty ln xx = 0 cresce muito, ln L = 0 cresce mais lentamente do que . Matemáticamente, isso significa que:
Portanto:

Passo 5

Para encontrar L = e^0 = 1 , vamos reverter o logaritmo natural. Se , então:

Resposta

limx +infty x^1x = 1

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