Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical e oblíqüa, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
. Nosso objetivo é encontrar os extremos relativos usando o teste da segunda derivada ou, se não for possível, o teste da primeira derivada. Além disso, precisamos identificar pontos de inflexão, determinar onde o gráfico é côncavo para cima ou côncavo para baixo, encontrar as assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, e, por fim, fazer um esboço do gráfico da função.
Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas (primeira e segunda), entender o comportamento das funções, e conhecer os conceitos de concavidade e assíntotas.
Passo 2
Vamos começar encontrando a primeira derivada da função
. Para isso, usaremos a regra do quociente, que diz que se temos
, então:
No nosso caso,
e
. Calculando as derivadas:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe. Esses pontos são candidatos a extremos relativos.
Primeiro, igualamos a derivada a zero:
Isso ocorre quando o numerador é zero:
Além disso, a derivada não existe em
(mas esse é também o ponto onde a função original não está definida, pois o denominador é zero).
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Vamos aplicar o teste da segunda derivada para determinar se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Primeiro, encontramos a segunda derivada. Vamos derivar
. Usando novamente a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Após simplificação, encontramos:
Agora, avaliamos
nos pontos críticos
e
:
- Para
:
Como
, o ponto
é um mínimo relativo.
- Para
:
Como
, o ponto
também é um mínimo relativo.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão e determinar onde o gráfico é côncavo para cima ou côncavo para baixo.
Os pontos de inflexão ocorrem onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde
ou não está definida.
Primeiro, encontramos onde
:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos dois pontos críticos para possíveis inflexões:
e
.
Além disso,
não está definida em
, mas já sabemos que nesse ponto a função original também não está definida.
Para determinar a concavidade, analisamos o sinal de
:
- Côncava para cima quando
. - Côncava para baixo quando
.
Com base na expressão de
, podemos determinar os intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo.
Passo 6
Vamos identificar as assíntotas da função
.
-
Assíntota vertical: ocorre onde o denominador é zero e o numerador não é zero. Aqui,
. Então, há uma assíntota vertical em . -
Assíntota horizontal: analisamos o comportamento da função quando
tende ao infinito. Aqui, o grau do numerador (2) é maior que o grau do denominador (1), indicando que não há assíntota horizontal. -
Assíntota oblíqua: já que o grau do numerador é exatamente um a mais que o do denominador, existe uma assíntota oblíqua. Vamos encontrar essa assíntota dividindo
por :
Portanto, a assíntota oblíqua é
.
Passo 7
Por fim, vamos fazer um esboço do gráfico da função
com base nas informações obtidas:
- Extremos relativos: mínimos em
e . - Pontos de inflexão: em
. - Concavidade: determina-se pelos intervalos onde
é positiva (côncava para cima) ou negativa (côncava para baixo). - Assíntotas:
- Vertical em
. - Oblíqua em
.
- Vertical em
Com esses elementos, podemos desenhar o gráfico, marcando os pontos de mínimo, as assíntotas, e indicando a concavidade em cada intervalo.
Resposta
Os extremos relativos da função
são mínimos locais em
e
. A função possui pontos de inflexão em
e
. O gráfico é côncavo para cima e para baixo conforme determinado pela segunda derivada. As assíntotas são vertical em
e oblíqua em
. O esboço do gráfico deve refletir esses características.
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Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical e oblíqüa, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo.
Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical e oblíqüa, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo.
Calcule os limites abaixo:
Calcule as derivadas abaixo: