Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical e oblíqüa, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função . Nosso objetivo é encontrar os extremos relativos usando o teste da segunda derivada ou, se não for possível, o teste da primeira derivada. Além disso, precisamos identificar pontos de inflexão, determinar onde o gráfico é côncavo para cima ou côncavo para baixo, encontrar as assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, e, por fim, fazer um esboço do gráfico da função.
Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas (primeira e segunda), entender o comportamento das funções, e conhecer os conceitos de concavidade e assíntotas.

Passo 2

Vamos começar encontrando a primeira derivada da função . Para isso, usaremos a regra do quociente, que diz que se temos , então:
No nosso caso, e . Calculando as derivadas:
Aplicando a regra do quociente:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe. Esses pontos são candidatos a extremos relativos.
Primeiro, igualamos a derivada a zero:
Isso ocorre quando o numerador é zero:
Além disso, a derivada não existe em (mas esse é também o ponto onde a função original não está definida, pois o denominador é zero).
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Vamos aplicar o teste da segunda derivada para determinar se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Primeiro, encontramos a segunda derivada. Vamos derivar . Usando novamente a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Após simplificação, encontramos:
Agora, avaliamos nos pontos críticos e :
  • Para :
Como , o ponto é um mínimo relativo.
  • Para :
Como , o ponto também é um mínimo relativo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão e determinar onde o gráfico é côncavo para cima ou côncavo para baixo.
Os pontos de inflexão ocorrem onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde ou não está definida.
Primeiro, encontramos onde :
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos dois pontos críticos para possíveis inflexões: e .
Além disso, não está definida em , mas já sabemos que nesse ponto a função original também não está definida.
Para determinar a concavidade, analisamos o sinal de :
  • Côncava para cima quando .
  • Côncava para baixo quando .
Com base na expressão de , podemos determinar os intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo.

Passo 6

Vamos identificar as assíntotas da função .
  • Assíntota vertical: ocorre onde o denominador é zero e o numerador não é zero. Aqui, . Então, há uma assíntota vertical em .
  • Assíntota horizontal: analisamos o comportamento da função quando tende ao infinito. Aqui, o grau do numerador (2) é maior que o grau do denominador (1), indicando que não há assíntota horizontal.
  • Assíntota oblíqua: já que o grau do numerador é exatamente um a mais que o do denominador, existe uma assíntota oblíqua. Vamos encontrar essa assíntota dividindo por :
Portanto, a assíntota oblíqua é .

Passo 7

Por fim, vamos fazer um esboço do gráfico da função com base nas informações obtidas:
  • Extremos relativos: mínimos em e .
  • Pontos de inflexão: em .
  • Concavidade: determina-se pelos intervalos onde é positiva (côncava para cima) ou negativa (côncava para baixo).
  • Assíntotas:
    • Vertical em .
    • Oblíqua em .
Com esses elementos, podemos desenhar o gráfico, marcando os pontos de mínimo, as assíntotas, e indicando a concavidade em cada intervalo.

Resposta

Os extremos relativos da função são mínimos locais em e . A função possui pontos de inflexão em e . O gráfico é côncavo para cima e para baixo conforme determinado pela segunda derivada. As assíntotas são vertical em e oblíqua em . O esboço do gráfico deve refletir esses características.

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Calcule os limites abaixo:
Calcule as derivadas abaixo: