Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical e oblíqüa, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! O enunciado pede para encontrar os extremos relativos da função usando testes de derivadas, identificar pontos de inflexão, áreas de concavidade, assíntotas e fazer um esboço do gráfico. A função que vamos analisar é:
Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas (primeira e segunda) para encontrar máximos e mínimos, entender concavidade e pontos de inflexão, além de verificar possíveis assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função, que nos ajuda a identificar os extremos relativos (máximos e mínimos). A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em cada ponto.
A função é:
Calculando a primeira derivada:
Simplificando:

Passo 3

Para encontrar os extremos relativos, vamos igualar a primeira derivada a zero e resolver para :
Isolando os termos:
Então, temos um candidato a extremo em .

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda derivada para confirmar se esse ponto é um máximo ou mínimo relativo. A segunda derivada nos ajuda a entender a concavidade da função.
Calculando a segunda derivada de :
A primeira derivada é:
Derivando novamente:

Passo 5

Vamos avaliar a segunda derivada no ponto :
Como , isso indica que a função é côncava para baixo nesse ponto, ou seja, temos um máximo relativo em .

Passo 6

Vamos encontrar o valor do extremo relativo substituindo na função original:
Então, o máximo relativo é em .

Passo 7

Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão, onde a concavidade da função muda. Para isso, buscamos onde a segunda derivada muda de sinal.
A segunda derivada é:
Vamos analisar onde ou não está definida.
A segunda derivada nunca é zero, mas ela está indefinida em (pois dividir por zero não é permitido). Então, pode ser um ponto de inflexão, mas precisamos verificar o comportamento ao redor desse ponto.

Passo 8

Analisando os sinais da segunda derivada:
  • Para :
A função é côncava para baixo.
  • Para :
também é positivo (pois qualquer potência par de é positiva), então .
Como a concavidade não muda de sinal passando por , não há ponto de inflexão nesse ponto.

Passo 9

Agora, vamos verificar as regiões de concavidade:
  • Côncava para baixo: Para todo , já que .
  • Côncava para cima: Não há regiões onde .

Passo 10

Vamos identificar as assíntotas da função. Assíntotas podem ser horizontais, verticais ou oblíquas.
Para :
  • Assíntotas verticais: Ocorrem onde a função tende ao infinito, geralmente onde a função não está definida. Aqui, a função está definida para todo . No entanto, em , a função tem um comportamento finito:
Não há assíntota vertical.
  • Assíntotas horizontais: Avaliamos o limite da função quando tende a e .
Não há assíntotas horizontais.
  • Assíntotas oblíquas: Geralmente ocorrem em funções racionais quando o grau do numerador é exatamente um a mais que o do denominador. Aqui, nossa função não é uma função racional, então também não há assíntotas oblíquas.

Passo 11

Por fim, vamos resumir os resultados e fazer um esboço do gráfico:
  • Extremo Relativo: Máximo relativo em .
  • Pontos de Inflexão: Nenhum.
  • Concavidade: Sempre côncava para baixo.
  • Assíntotas: Não há assíntotas horizontais, verticais ou oblíquas.
O esboço do gráfico mostraria uma curva que atinge seu ponto mais alto em , decaindo para ambos os lados, sempre curvada para baixo, sem mudar a concavidade e sem assíntotas.

Resposta

A função possui um máximo relativo em . Não há pontos de inflexão. A função é sempre côncava para baixo e não possui assíntotas horizontais, verticais ou oblíquas. O gráfico apresenta uma curva que atinge seu ponto mais alto em e decai para ambos os lados mantendo a concavidade para baixo.

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Calcule as derivadas das funções abaixo utilizando a Regra da Cadeia.
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Calcule os limites abaixo: