Calcule os limites abaixo, dizendo em cada passagem quais as propriedades de limites utilizadas.
lim u 2 raizu^2+3 u+4u^3+1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular o limite quando lim u 2 raizu^2+3u+4u^3+1 se aproxima de 2 da expressão:
Esse problema envolve o conceito de limites, que nos ajuda a entender o comportamento de funções à medida que a variável se aproxima de um determinado valor. Para resolver isso, vamos precisar aplicar propriedades de limites, como a propriedade do limite da raiz de uma função e a propriedade do limite de uma fração.

Passo 2

Vamos começar simplificando a expressão dentro da raiz. Primeiro, calculamos o numerador e o denominador separadamente substituindo u^2 + 3u + 4 = 2^2 + 3(2) + 4 = 4 + 6 + 4 = 14 .
Calculando o numerador:
u^3 + 1 = 2^3 + 1 = 8 + 1 = 9
Calculando o denominador:
149
Então, a expressão dentro da raiz fica:

Passo 3

Agora, aplicamos a propriedade de limites que nos permite calcular o limite de uma raiz aplicando o limite dentro dela. Ou seja:
lim u 2 raizu^2+3u+4u^3+1 = raizlim u 2 u^2+3u+4u^3+1
Já calculamos que dentro da raiz temos raiz149 , então:

Passo 4

Finalmente, calculamos a raiz quadrada da fração raiz149 = raiz14raiz9 = raiz143 . A raiz de uma fração pode ser calculada separadamente para o numerador e o denominador:

Resposta

Portanto, o limite é:
raiz143

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