Calcule os limites abaixo, se existir.
(a) lim x 1 x^3+x-2x^2-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos lidando com limites, que é um conceito fundamental em Cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar frações algébricas e talvez usar o teorema do confronto ou fatoração.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 1^3 + 1 - 21^2 - 1 = 1 + 1 - 21 - 1 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Obtemos uma forma indeterminada , o que significa que não podemos determinar o limite dessa forma e precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para ver se conseguimos cancelar termos que causaram essa indeterminação.
Primeiro, fatorando o denominador x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) :

Passo 4

Agora, vamos fatorar o numerador 1^3 + 1 - 2 = 0 . Para isso, podemos tentar encontrar um fator comum usando a regra de Ruffini ou o teorema do resto. Testando :
Então, é um fator de .

Passo 5

Dividindo x^3 + x - 2 = (x - 1)(x^2 + x + 2) por (x - 1)(x^2 + x + 2)(x - 1)(x + 1) , encontramos:
Então, a expressão original fica:

Passo 6

Podemos cancelar o termo x^2 + x + 2x + 1 no numerador e no denominador:
Agora, a expressão está simplificada e não temos mais a indeterminação.

Passo 7

Finalmente, substituímos 1^2 + 1 + 21 + 1 = 1 + 1 + 22 = 42 = 2 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a 2.

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