Se
é uma função racional, isto é,
onde
são polinômios.
(b) Mostre que se
então
.
(b) Mostre que se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função racional
, onde
e
são polinômios. O exercício pede para mostrar que, se o número
está no domínio da função
(ou seja,
), então o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções polinomiais, limites e a propriedade de continuidade das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um polinômio, como
ou
, é uma função contínua. Isso significa que para qualquer valor
no domínio, o limite de
quando
se aproxima de
é simplesmente
, e o mesmo vale para
.
Passo 3
Agora, como
, queremos analisar o limite de
quando
se aproxima de
. Para isso, usamos a propriedade dos limites que diz que o limite de um quociente é o quociente dos limites, desde que o limite do denominador não seja zero.
Passo 4
Então, calculamos:
Como vimos que
e
são contínos, isso fica:
Passo 5
Por definição,
já que
está no domínio de
. Portanto, temos que o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
.