Se r(x) é uma função racional, isto é,
r(x)=p(x)q(x)
onde p(x)=an x^n+an-1 x^n-1+ldots a1 x+a0 q(x)=bm x^m+bm-1 x^m-1+ldots+b1 x+b0 são polinômios.
(b) Mostre que se a in Dom(r) então lim x a r(x)=r(a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função racional , onde e são polinômios. O exercício pede para mostrar que, se o número está no domínio da função (ou seja, ), então o limite de quando se aproxima de é igual a . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções polinomiais, limites e a propriedade de continuidade das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um polinômio, como ou , é uma função contínua. Isso significa que para qualquer valor no domínio, o limite de quando se aproxima de é simplesmente , e o mesmo vale para .

Passo 3

Agora, como , queremos analisar o limite de quando se aproxima de . Para isso, usamos a propriedade dos limites que diz que o limite de um quociente é o quociente dos limites, desde que o limite do denominador não seja zero.

Passo 4

Então, calculamos:
limx to a r(x) = limx to a p(x)q(x) = limx to a p(x)limx to a q(x)
Como vimos que p(a)q(a) e são contínos, isso fica:

Passo 5

Por definição, já que está no domínio de . Portanto, temos que o limite de quando se aproxima de é igual a .

Resposta

limx a r(x) = r(a)

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