Se $r(x)$ é uma função racional, isto é, $$ r(x)=\frac{p(x)}{q(x)} $$ onde $p(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots a_{1} x+a_{0} q(x)=b_{m} x^{m}+b_{m-1} x^{m-1}+\ldots+b_{1} x+b_{0}$ são polinômios. (b) Mostre que se $a \in \operatorname{Dom}(\mathrm{r})$ então $\lim _{x \rightarrow a} r(x)=r(a)$.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função racional , onde e são polinômios. O exercício pede para mostrar que, se o número está no domínio da função (ou seja, ), então o limite de quando se aproxima de é igual a . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções polinomiais, limites e a propriedade de continuidade das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um polinômio, como ou , é uma função contínua. Isso significa que para qualquer valor no domínio, o limite de quando se aproxima de é simplesmente , e o mesmo vale para .

Passo 3

Agora, como , queremos analisar o limite de quando se aproxima de . Para isso, usamos a propriedade dos limites que diz que o limite de um quociente é o quociente dos limites, desde que o limite do denominador não seja zero.

Passo 4

Então, calculamos:
Como vimos que e são contínos, isso fica:

Passo 5

Por definição, já que está no domínio de . Portanto, temos que o limite de quando se aproxima de é igual a .

Resposta

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Calcule os limites abaixo, se existir.
(a)
Calcule.
g)
<html><head></head><body><div>Encontre a velocidade média entre os intervalos de tempo dados:<br>
i) <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“
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</body></html>
<html><head></head><body><div>Determine a taxa média de crescimento de <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: 0;” xmlns=“
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ii. de 2011 a 2015 ;</div>
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