Esboce o gráfico de
.
7. Valores máximos e mínimos locais
7. Valores máximos e mínimos locais
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de esboçar o gráfico da função
. Aqui, estamos lidando com logaritmos naturais e procuramos identificar os valores máximos e mínimos locais dessa função. Para isso, vamos precisar entender o domínio da função, derivadas para encontrar pontos críticos e analisar o comportamento do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. Sabemos que o logaritmo natural
só está definido quando
. Então, para
, precisamos que:
Resolvendo essa desigualdade:
Assim, o domínio da função é
entre -2 e 2.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função para identificar os pontos onde a inclinação é zero, ou seja, onde podem existir máximos ou mínimos locais. A derivada de
é:
Passo 4
Vamos encontrar os pontos críticos onde
ou onde a derivada não está definida dentro do domínio.
Então, temos um ponto crítico em
. Agora, vamos verificar se esse ponto é um máximo ou mínimo.
Passo 5
Para determinar se
é um máximo ou mínimo, vamos analisar o sinal da derivada em torno desse ponto.
-
Para
, por exemplo, : A derivada é positiva, indicando que a função está crescendo. -
Para
, por exemplo, : A derivada é negativa, indicando que a função está decrescendo.
Como a função passa de crescente para decrescente em
, temos um máximo local nesse ponto.
Passo 6
Vamos agora analisar o comportamento da função perto das extremidades do domínio:
- Conforme
se aproxima de 2 ou -2, tende a zero, então tende a . Isso significa que existem assíntotas verticais em e .
Além disso, no ponto
, temos:
Resposta
O gráfico da função
está definido para
, possui um máximo local em
com
, e apresenta assíntotas verticais em
e
. A função cresce até
e depois decresce, formando uma curva em forma de “montanha” centralizada na origem dentro do intervalo definido.