Esboce o gráfico de y = ln(4 - x^2).
7. Valores máximos e mínimos locais

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de esboçar o gráfico da função . Aqui, estamos lidando com logaritmos naturais e procuramos identificar os valores máximos e mínimos locais dessa função. Para isso, vamos precisar entender o domínio da função, derivadas para encontrar pontos críticos e analisar o comportamento do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. Sabemos que o logaritmo natural só está definido quando . Então, para , precisamos que:
Resolvendo essa desigualdade:
Assim, o domínio da função é entre -2 e 2.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função para identificar os pontos onde a inclinação é zero, ou seja, onde podem existir máximos ou mínimos locais. A derivada de é:

Passo 4

Vamos encontrar os pontos críticos onde ou onde a derivada não está definida dentro do domínio.
Então, temos um ponto crítico em . Agora, vamos verificar se esse ponto é um máximo ou mínimo.

Passo 5

Para determinar se é um máximo ou mínimo, vamos analisar o sinal da derivada em torno desse ponto.
  • Para , por exemplo, :
    A derivada é positiva, indicando que a função está crescendo.
  • Para , por exemplo, :
    A derivada é negativa, indicando que a função está decrescendo.
Como a função passa de crescente para decrescente em , temos um máximo local nesse ponto.

Passo 6

Vamos agora analisar o comportamento da função perto das extremidades do domínio:
  • Conforme se aproxima de 2 ou -2, tende a zero, então tende a . Isso significa que existem assíntotas verticais em e .
Além disso, no ponto , temos:

Resposta

O gráfico da função está definido para , possui um máximo local em com , e apresenta assíntotas verticais em e . A função cresce até e depois decresce, formando uma curva em forma de “montanha” centralizada na origem dentro do intervalo definido.

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