Calcule os limites abaixo, se existirem:
b) lim x +infty(x+1x-1)^x

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse problema está relacionado ao estudo de limites de funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como expressões do tipo se comportam quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do limite:
x+1x-1 = x - 1 + 2x - 1 = 1 + 2x - 1
Agora, podemos reescrever o limite original substituindo a fração simplificada:
lim x +infty(1 + 2x - 1)^x

Passo 3

Observamos que a expressão se assemelha à forma conhecida , cujo limite quando tende ao infinito é . No nosso caso, , mas precisamos ajustar um pouco a expressão para aplicar essa regra.

Passo 4

Vamos reescrever o limite separando o expoente:
(1 + 2x - 1)^x = (1 + 2x - 1)^x - 1 cdot (1 + 2x - 1)
Agora, analisamos cada parte separadamente.

Passo 5

O primeiro fator limx +infty (1 + 2x - 1)^x - 1 = e^2 se assemelha exatamente à forma . Aplicando a regra, temos:

Passo 6

O segundo fator limx +infty (1 + 2x - 1) = 1 quando tende ao infinito, a fração tende a zero. Portanto:

Passo 7

Multiplicando os limites dos dois fatores:
e^2 cdot 1 = e^2

Resposta

lim x +infty(x+1x-1)^x = e^2

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