Dada a função f(x) = x^4 - 2*x^2, determine ou faça o que se pede: (b) Os pontos de máximos e de mínimos do gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os pontos onde o gráfico dessa função tem máximos e mínimos. Isso faz parte do estudo de derivadas em cálculo, que nos ajuda a entender como uma função se comporta, tipo onde ela sobe, desce, e onde tem esses pontos altos (máximos) e baixos (mínimos).

Passo 2

Primeiro, pra achar os pontos de máximos e mínimos, a gente precisa encontrar a derivada da função. A derivada nos dá a inclinação da tangente no ponto x, ou seja, como a função está mudando naquele ponto.
Então, vamos derivar :

Passo 3

Agora, pra encontrar os pontos críticos (onde podem ocorrer máximos ou mínimos), a gente iguala a derivada a zero e resolve para x:
Podemos fatorar:
Então, temos:
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 4

Agora, pra saber se cada um desses pontos é um máximo, mínimo ou nenhum dos dois, vamos usar a segunda derivada. A segunda derivada nos diz se a concavidade da função é pra cima ou pra baixo naquele ponto.
Vamos derivar novamente:

Passo 5

Vamos avaliar a segunda derivada em cada ponto crítico:
  • Para :
Como , o gráfico é côncavo pra cima nesse ponto, então temos um mínimo em .
  • Para :
Como , o gráfico é côncavo pra baixo nesse ponto, então temos um máximo em .
  • Para :
Como , o gráfico é côncavo pra cima nesse ponto, então temos um mínimo em .

Resposta

Os pontos de máximo e mínimo da função são:
  • Máximo em
  • Mínimos em e

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