Dada a função
, determine ou faça o que se pede: (b) Os pontos de máximos e de mínimos do gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os pontos onde o gráfico dessa função tem máximos e mínimos. Isso faz parte do estudo de derivadas em cálculo, que nos ajuda a entender como uma função se comporta, tipo onde ela sobe, desce, e onde tem esses pontos altos (máximos) e baixos (mínimos).
Passo 2
Primeiro, pra achar os pontos de máximos e mínimos, a gente precisa encontrar a derivada da função. A derivada nos dá a inclinação da tangente no ponto x, ou seja, como a função está mudando naquele ponto.
Então, vamos derivar
:
Passo 3
Agora, pra encontrar os pontos críticos (onde podem ocorrer máximos ou mínimos), a gente iguala a derivada a zero e resolve para x:
Podemos fatorar:
Então, temos:
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 4
Agora, pra saber se cada um desses pontos é um máximo, mínimo ou nenhum dos dois, vamos usar a segunda derivada. A segunda derivada nos diz se a concavidade da função é pra cima ou pra baixo naquele ponto.
Vamos derivar novamente:
Passo 5
Vamos avaliar a segunda derivada em cada ponto crítico:
- Para
:
Como
, o gráfico é côncavo pra cima nesse ponto, então temos um mínimo em
.
- Para
:
Como
, o gráfico é côncavo pra baixo nesse ponto, então temos um máximo em
.
- Para
:
Como
, o gráfico é côncavo pra cima nesse ponto, então temos um mínimo em
.
Resposta
Os pontos de máximo e mínimo da função
são:
- Máximo em
- Mínimos em
e
Exercícios relacionados
Uma partícula desloca-se ao longo de uma linha reta com uma posição que varia como função do tempo segundo a função dada por (2).
(f) Em que instantes a partícula passa pela origem?
Calcule os limites abaixo, se existirem:
b)
b)
Escreva a soma ou diferença como uma única integral na forma
.
Considere um tanque que desloca-se horizontalmente com velocidade
módulo. O mesmo possui um canhão cuja inclinação é de
com a horizontal e a saida do canhão está a uma altura de 5 m em relação ao solo. Um carro desloca-se na mesma linha de movimento do taque, mas com velocidade de
e no sentido oposto. Em um dado instante de tempo, a distância entre o tanque e o carro é de 2000 m . Considere que o canhão dispara nesse momento.
(a) Encontre a velocidade da bala do canhão para que o carro seja destruido.
(a) Encontre a velocidade da bala do canhão para que o carro seja destruido.