Uma partícula desloca-se ao longo de uma linha reta com uma posição que varia como função do tempo segundo a função dada por (2).
s = 4 sen(2 pi t) / t
(a) Encontre a velocidade da partícula como função do tempo.

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma partícula que se move ao longo de uma linha reta, e a posição dela em função do tempo é dada por:
A gente precisa encontrar a velocidade dessa partícula em função do tempo. Pra isso, vamos usar o conceito de derivada, já que a velocidade é justamente a taxa de variação da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo . Ou seja:
Então, precisamos derivar a função .

Passo 3

Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que é usada quando temos uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador dependem de . A regra do quociente diz que:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e :
  • Derivada de :
  • Derivada de :

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:

Passo 6

Simplificando a expressão:
Podemos fatorar o do numerador:

Passo 7

Finalmente, simplificando mais:

Resposta

A velocidade da partícula em função do tempo é:

Exercícios relacionados

Use a forma da definição da integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
integral0^b(P x^2+Q x+R) d x
Use a forma da definição da integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
integral1^4(x^2-2) d x
Calcule os limites abaixo, se existirem:
b) lim x +infty(x+1x-1)^x
Uma partícula desloca-se ao longo de uma linha reta com uma posição que varia como função do tempo segundo a função dada por (2).
s = 4 sen(2 pi t) / t
(f) Em que instantes a partícula passa pela origem?