Uma partícula desloca-se ao longo de uma linha reta com uma posição que varia como função do tempo segundo a função dada por (2).
s = 4 sen(2 pi t) / t
(a) Encontre a velocidade da partícula como função do tempo.

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma partícula que se move ao longo de uma linha reta, e a posição dela em função do tempo é dada por:
A gente precisa encontrar a velocidade dessa partícula em função do tempo. Pra isso, vamos usar o conceito de derivada, já que a velocidade é justamente a taxa de variação da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo . Ou seja:
Então, precisamos derivar a função .

Passo 3

Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que é usada quando temos uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador dependem de . A regra do quociente diz que:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e :
  • Derivada de :
  • Derivada de :

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:

Passo 6

Simplificando a expressão:
Podemos fatorar o do numerador:

Passo 7

Finalmente, simplificando mais:

Resposta

A velocidade da partícula em função do tempo é:

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