Uma partícula desloca-se ao longo de uma linha reta com uma posição que varia como função do tempo segundo a função dada por (2).
(a) Encontre a velocidade da partícula como função do tempo.
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma partícula que se move ao longo de uma linha reta, e a posição dela em função do tempo é dada por:
A gente precisa encontrar a velocidade dessa partícula em função do tempo. Pra isso, vamos usar o conceito de derivada, já que a velocidade é justamente a taxa de variação da posição em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade
é a derivada da posição
em relação ao tempo
. Ou seja:
Então, precisamos derivar a função
.
Passo 3
Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que é usada quando temos uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador dependem de
. A regra do quociente diz que:
Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e
:
-
Derivada de
: -
Derivada de
:
Passo 5
Aplicando a regra do quociente:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Podemos fatorar o
do numerador:
Passo 7
Finalmente, simplificando mais:
Resposta
A velocidade da partícula em função do tempo é:
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Use a forma da definição da integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
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Calcule os limites abaixo, se existirem:
b)
b)
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