Use a forma da definição da integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
integral0^b(P x^2+Q x+R) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de uma função do tipo no intervalo de 0 a , usando a definição da integral conforme o Teorema 4. Basicamente, vamos precisar entender o que é uma integral definida e como aplicá-la usando somas de Riemann.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integral definida. Ela representa a área sob a curva da função entre dois pontos, nesse caso, de 0 a . Segundo a definição, podemos aproximar essa área dividindo o intervalo em pequenos pedaços, calculando a área de cada pedaço e somando tudo no limite, quando o tamanho dos pedaços tende a zero.

Passo 3

Vamos dividir o intervalo De em subintervalos iguais. O tamanho de cada subintervalo ( ) será:

Passo 4

Agora, vamos escolher pontos de amostragem em cada subintervalo. Usaremos os pontos à direita, então o ponto xi = 0 + i De no -ésimo subintervalo será:
para .

Passo 5

A soma de Riemann à direita para a função Sn = sumi=1^n ( P ( i bn )^2 + Q ( i bn ) + R ) De é então:

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão:
Sn = sumi=1^n ( P i^2 b^2n^2 + Q i bn + R ) bn
= sumi=1^n ( P b^3 i^2n^3 + Q b^2 in^2 + R bn )

Passo 7

Agora, separamos as somas:
Sn = P b^3n^3 sumi=1^n i^2 + Q b^2n^2 sumi=1^n i + R bn sumi=1^n 1

Passo 8

Conhecendo as fórmulas das somas:
sumi=1^n i = n(n+1)2
sumi=1^n i^2 = n(n+1)(2n+1)6
sumi=1^n 1 = n
Substituímos na expressão:
Sn = P b^3n^3 cdot n(n+1)(2n+1)6 + Q b^2n^2 cdot n(n+1)2 + R bn cdot n

Passo 9

Simplificando cada termo:
Sn = P b^3 cdot (n+1)(2n+1)6n^2 + Q b^2 cdot (n+1)2n + R b

Passo 10

Agora, tomamos o limite quando integral0^b (P x^2 + Q x + R) dx = limn to infty Sn tende ao infinito:
limn to infty P b^3 cdot (n+1)(2n+1)6n^2 = P b^33
Analisando cada termo:
limn to infty Q b^2 cdot (n+1)2n = Q b^22
limn to infty R b = R b

Resposta

Então, a integral calculada é:
integral0^b (P x^2 + Q x + R) dx = P b^33 + Q b^22 + R b

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Use a forma da definição da integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
integral1^4(x^2-2) d x
A posição de uma partícula no instante de tempo 0 é 0,125 e sua velocidade nesse instante é 0,5 . O movimento é unidimensional e sua aceleração como função do tempo é dada por a(t) = 2 cos(4 t) + t.
(f) Qual o deslocamento da partícula entre os instantes 0 e pi / 2.
Uma partícula desloca-se ao longo de uma linha reta com uma posição que varia como função do tempo segundo a função dada por (2).
s = 4 sen(2 pi t) / t
(a) Encontre a velocidade da partícula como função do tempo.
Calcule os limites abaixo, se existirem:
b) lim x +infty(x+1x-1)^x