Use a forma da definição da integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de uma função do tipo
no intervalo de 0 a
, usando a definição da integral conforme o Teorema 4. Basicamente, vamos precisar entender o que é uma integral definida e como aplicá-la usando somas de Riemann.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a integral definida. Ela representa a área sob a curva da função entre dois pontos, nesse caso, de 0 a
. Segundo a definição, podemos aproximar essa área dividindo o intervalo em pequenos pedaços, calculando a área de cada pedaço e somando tudo no limite, quando o tamanho dos pedaços tende a zero.
Passo 3
Vamos dividir o intervalo
em
subintervalos iguais. O tamanho de cada subintervalo (
) será:
Passo 4
Agora, vamos escolher pontos de amostragem em cada subintervalo. Usaremos os pontos à direita, então o ponto
no
-ésimo subintervalo será:
para
.
Passo 5
A soma de Riemann à direita para a função
é então:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 7
Agora, separamos as somas:
Passo 8
Conhecendo as fórmulas das somas:
Substituímos na expressão:
Passo 9
Simplificando cada termo:
Passo 10
Agora, tomamos o limite quando
tende ao infinito:
Analisando cada termo:
Resposta
Então, a integral calculada é:
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Use a forma da definição da integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
A posição de uma partícula no instante de tempo 0 é 0,125 e sua velocidade nesse instante é 0,5 . O movimento é unidimensional e sua aceleração como função do tempo é dada por
.
(f) Qual o deslocamento da partícula entre os instantes 0 e .
(f) Qual o deslocamento da partícula entre os instantes 0 e
Uma partícula desloca-se ao longo de uma linha reta com uma posição que varia como função do tempo segundo a função dada por (2).
(a) Encontre a velocidade da partícula como função do tempo.
Calcule os limites abaixo, se existirem:
b)
b)