Calcule os limites abaixo, se existirem:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, estamos trabalhando com limites em cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como as funções trigonométricas se comportam perto de zero e talvez usar uma técnica chamada Regra de L’Hôpital se necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece quando
se aproxima de 0:
- O numerador
se aproxima de 0. - O denominador
também se aproxima de 0, já que é aproximadamente igual a quando é pequeno.
Então, temos uma forma indeterminada
, o que nos dá um sinal para usar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite da forma
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite desses derivados.
Aplicando isso ao nosso caso:
- Derivada do numerador
é . - Derivada do denominador
é .
Então, nosso limite fica:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão no denominador:
Sabemos que
, então
. Substituindo isso:
Então, nosso limite agora é:
Passo 5
Agora, vamos simplificar ainda mais:
Sabemos que quando
se aproxima de 0:
-
se aproxima de 1. -
se aproxima de .
Então, substituindo:
E quando
se aproxima de 0 pelo lado positivo,
tende ao infinito positivo, então o limite todo tende a:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo, se existirem:
a)
a)
Verifique a convergência das seguintes integrais:
w)
w)
Calcule os limites abaixo, se existirem:
e)
e)
Determine a transformada de Laplace da seguinte função: