Calcule os limites abaixo, se existirem:
c) lim x 0^+ sen xx-tg x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 0^+ sin xx - tan x
Aqui, estamos trabalhando com limites em cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como as funções trigonométricas se comportam perto de zero e talvez usar uma técnica chamada Regra de L’Hôpital se necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando se aproxima de 0:
  • O numerador se aproxima de 0.
  • O denominador também se aproxima de 0, já que é aproximadamente igual a quando é pequeno.
Então, temos uma forma indeterminada , o que nos dá um sinal para usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite da forma lim x 0^+ cos x1 - sec^2 x ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite desses derivados.
Aplicando isso ao nosso caso:
  • Derivada do numerador é .
  • Derivada do denominador é .
Então, nosso limite fica:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão no denominador:
Sabemos que 1 - sec^2 x = 1 - 1cos^2 x = cos^2 x - 1cos^2 x = -sin^2 xcos^2 x , então lim x 0^+ cos x-sin^2 xcos^2 x = lim x 0^+ cos^3 x- sin^2 x . Substituindo isso:
Então, nosso limite agora é:

Passo 5

Agora, vamos simplificar ainda mais:
cos^3 x- sin^2 x = -cos^3 xsin^2 x
Sabemos que quando -1^3x^2 = -1x^2 se aproxima de 0:
  • -infty se aproxima de 1.
  • se aproxima de .
Então, substituindo:
E quando se aproxima de 0 pelo lado positivo, tende ao infinito positivo, então o limite todo tende a:

Resposta

lim x 0^+ sin xx - tan x = -infty

Exercícios relacionados