Calcule os limites abaixo, se existirem:
a) lim x infty ln (1+1x)arccotg x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
lim x infty ln (1+1x)arccot x
Aqui estamos lidando com funções logarítmicas e funções trigonométricas inversas (arccot). Para resolver esse limite, vamos precisar usar propriedades de limites, aproximações para x grande e a regra de L’Hôpital quando encontrarmos formas indeterminadas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da expressão quando ln(1 + 1x) approx 1x tende ao infinito.
  • Numerador:
    Quando fica muito grande, fica bem pequeno. Sabemos que é aproximadamente igual a quando é pequeno. Então, para grande:
  • Denominador:
    A função é o arco cuja cotangente é . Quando tende ao infinito, se aproxima de 0, porque a cotangente de um ângulo próximo a 0 é muito grande.
Então, tanto o numerador quanto o denominador estão se aproximando de 0 quando vai para o infinito, o que nos dá uma forma indeterminada do tipo . Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital para resolver o limite.

Passo 3

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que se temos um limite da forma ddx ln(1 + 1x) = 11 + 1x cdot (-1x^2) = -1x^2 + x ou ddx arccot x = -1x^2 + 1 , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.
Primeiro, derivamos o numerador:
Agora, derivamos o denominador:

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo o limite original pelas derivadas que encontramos:
lim x infty -1x^2 + x-1x^2 + 1 = lim x infty x^2 + 1x^2 + x
Podemos simplificar essa expressão dividindo numerador e denominador por lim x infty 1 + 1x^21 + 1x :
1 + 01 + 0 = 1
À medida que tende ao infinito, e tendem a 0. Então, a expressão simplifica para:

Resposta

lim x infty ln (1+1x)arccot x = 1

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