Calcule os limites abaixo, se existirem:
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
Aqui estamos lidando com funções logarítmicas e funções trigonométricas inversas (arccot). Para resolver esse limite, vamos precisar usar propriedades de limites, aproximações para x grande e a regra de L’Hôpital quando encontrarmos formas indeterminadas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da expressão quando tende ao infinito.
  • Numerador:
    Quando fica muito grande, fica bem pequeno. Sabemos que é aproximadamente igual a quando é pequeno. Então, para grande:
  • Denominador:
    A função é o arco cuja cotangente é . Quando tende ao infinito, se aproxima de 0, porque a cotangente de um ângulo próximo a 0 é muito grande.
Então, tanto o numerador quanto o denominador estão se aproximando de 0 quando vai para o infinito, o que nos dá uma forma indeterminada do tipo . Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital para resolver o limite.

Passo 3

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que se temos um limite da forma ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.
Primeiro, derivamos o numerador:
Agora, derivamos o denominador:

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo o limite original pelas derivadas que encontramos:
Podemos simplificar essa expressão dividindo numerador e denominador por :
À medida que tende ao infinito, e tendem a 0. Então, a expressão simplifica para:

Resposta

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Verifique a convergência das seguintes integrais:
w)
Verifique a convergência das seguintes integrais:
r)
Calcule os limites abaixo, se existirem:
c)
Calcule os limites abaixo, se existirem:
e)