Verifique a convergência das seguintes integrais:
w)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a integral converge ou não. Isso está na área de Cálculo Integral, mais especificamente no estudo de integrais impróprias. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de integrais e comparar com funções conhecidas que sabemos se são convergentes ou divergentes.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o comportamento da função quando tende a infinito. Quando fica muito grande, fica muito pequeno, então fica próximo de . Portanto, para valores grandes de , a função se comporta como .

Passo 3

Sabemos que a integral é uma integral p, onde . As integrais p do tipo convergem se e divergem se . Como aqui , essa integral é convergente.

Passo 4

Agora, vamos comparar com . Como para todo (porque sempre é maior ou igual a 1), temos que . Mas isso não nos ajuda diretamente, pois sabemos que converge e nossa função é maior ou igual a uma função convergente.

Passo 5

Na verdade, podemos melhorar essa comparação observando que, para , , já que e atinge seu máximo quando . Então, temos .

Passo 6

Agora, usamos o Teste da Comparação. Já que é uma função conhecida que dá uma integral convergente quando integrada de 1 ao infinito, e nossa função , então pela comparação, a integral também converge.

Resposta

A integral é convergente.

Exercícios relacionados

Verifique a convergência das seguintes integrais:
r)
Verifique a convergência das seguintes integrais:
I)
Calcule os limites abaixo, se existirem:
a)
Calcule os limites abaixo, se existirem:
c)