Verifique a convergência das seguintes integrais:
w)
w)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a integral
converge ou não. Isso está na área de Cálculo Integral, mais especificamente no estudo de integrais impróprias. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de integrais e comparar com funções conhecidas que sabemos se são convergentes ou divergentes.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o comportamento da função
quando
tende a infinito. Quando
fica muito grande,
fica muito pequeno, então
fica próximo de
. Portanto, para valores grandes de
, a função
se comporta como
.
Passo 3
Sabemos que a integral
é uma integral p, onde
. As integrais p do tipo
convergem se
e divergem se
. Como aqui
, essa integral é convergente.
Passo 4
Agora, vamos comparar
com
. Como
para todo
(porque
sempre é maior ou igual a 1), temos que
. Mas isso não nos ajuda diretamente, pois sabemos que
converge e nossa função é maior ou igual a uma função convergente.
Passo 5
Na verdade, podemos melhorar essa comparação observando que, para
,
, já que
e
atinge seu máximo quando
. Então, temos
.
Passo 6
Agora, usamos o Teste da Comparação. Já que
é uma função conhecida que dá uma integral convergente quando integrada de 1 ao infinito, e nossa função
, então pela comparação, a integral
também converge.
Resposta
A integral
é convergente.
Exercícios relacionados
Verifique a convergência das seguintes integrais:
r)
r)
Verifique a convergência das seguintes integrais:
I)
I)
Calcule os limites abaixo, se existirem:
a)
a)
Calcule os limites abaixo, se existirem:
c)
c)