Calcule os limites abaixo, se existirem:
e) lim x +infty(arctg xraizx)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando tende a mais infinito de . Isso envolve entender dois conceitos principais: limites e as funções arctangente e raiz quadrada. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o comportamento dessas funções quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com a função limx to +infty arctan(x) = pi2 quando vai para mais infinito. A função arco-tangente tem limites conhecidos:
Isso significa que, conforme cresce sem parar, se aproxima de .

Passo 3

Agora, vamos ver a função limx to +infty raizx = +infty quando vai para mais infinito. É bem direto:
Ou seja, à medida que fica maior, também cresce sem limites.

Passo 4

Agora, vamos juntar essas informações no nosso limite original:
limx to +infty arctan(x)raizx = pi2+infty
Aqui, estamos dividindo um número constante ( ) por um valor que cresce sem parar ( ).

Passo 5

Quando dividimos um número constante por algo que vai para mais infinito, o resultado tende a zero. Em termos matemáticos:
constante+infty = 0
Portanto:
pi2+infty = 0

Resposta

O limite é igual a zero.
limx +infty ( arctan(x)raizx ) = 0

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