Calcule os limites abaixo, se existirem:
f)
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo funções trigonométricas () e funções hiperbólicas (). Para resolver isso, vamos usar a expansão em série de Taylor dessas funções perto de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma expansão em série de Taylor. É uma maneira de aproximar funções por polinômios próximos a um determinado ponto, nesse caso,
. Isso ajuda a simplificar a expressão do limite.
Passo 3
Vamos expandir e em série de Taylor até termos de terceiro grau, já que isso será suficiente para encontrar o limite.
A expansão de é:
A expansão de é:
Passo 4
Agora, substituímos essas expansões na expressão do limite:
Passo 5
Simplificando o numerador e o denominador:
Passo 6
Agora, ao calcular o limite quando
se aproxima de 0:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.
Use a regra da cadeia para achar
e
.
.
Calcule os limites abaixo, se existirem:
I)
I)
Calcule os limites abaixo, se existirem:
p)
p)