Calcule os limites abaixo, se existirem:
f) lim x 0 sen x-xsenh x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo funções trigonométricas () e funções hiperbólicas (). Para resolver isso, vamos usar a expansão em série de Taylor dessas funções perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma expansão em série de Taylor. É uma maneira de aproximar funções por polinômios próximos a um determinado ponto, nesse caso, . Isso ajuda a simplificar a expressão do limite.

Passo 3

Vamos expandir e em série de Taylor até termos de terceiro grau, já que isso será suficiente para encontrar o limite.
A expansão de é:
A expansão de é:

Passo 4

Agora, substituímos essas expansões na expressão do limite:

Passo 5

Simplificando o numerador e o denominador:
-x^36 + O(x^5)x + x^36 + O(x^5) = -x^36 x cdot 1 + O(x^2)1 + x^26 + O(x^4) = -x^26 + O(x^4)

Passo 6

Agora, ao calcular o limite quando limx 0 ( -x^26 + O(x^4) ) = 0 se aproxima de 0:

Resposta

O limite é igual a .

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