Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício: a gente precisa esboçar o gráfico da função . Para fazer isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para entender melhor o comportamento da curva. Vamos precisar achar pontos-chave como interceptações, intervalos de crescimento e decrescimento, além de pontos de inflexão. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as interceptações com os eixos.
  • Interceptação com o eixo y: Isso acontece quando . Substituindo na função:
    Então, a interceptação com o eixo y é no ponto .
  • Interceptações com o eixo x: Isso ocorre quando . Vamos resolver a equação:
    Podemos fatorar:
    Solucionando:
    A segunda equação é:
    Então, as interceptações com o eixo x são e .

Passo 3

Agora, vamos descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar a primeira derivada:
Vamos encontrar os pontos críticos onde :
Agora, vamos fazer uma análise de sinal:
  • Para , escolha :
  • Para , escolha :
  • Para , escolha :
Então, a função está crescendo antes de , decrescendo entre e , e crescendo novamente após .

Passo 4

Vamos agora investigar a concavidade da função usando a segunda derivada:
Encontramos os pontos de inflexão onde :
Vamos analisar o sinal da segunda derivada:
  • Para , escolha :
  • Para , escolha :
Assim, em ocorre um ponto de inflexão, mudando a concavidade da função.

Passo 5

Vamos resumir os pontos que encontramos:
  • Interceptação com o eixo y:
  • Interceptações com o eixo x: e
  • Ponto crítico em : A função muda de crescente para decrescente.
  • Ponto crítico em : A função muda de decrescente para crescente.
  • Ponto de inflexão em : A concavidade muda de para baixo para para cima.

Resposta

Com base nos passos acima, o esboço do gráfico da função apresenta interceptações em e , cresce antes de , decresce entre e , cresce novamente após , e possui um ponto de inflexão em onde a concavidade muda. Assim, traçando esses pontos e considerando o comportamento da função, conseguimos esboçar a curva desejada.

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Resolva as seguintes equações diferenciais de primeira ordem:
Calcule os limites abaixo, se existirem:
f)
Calcule os limites abaixo, se existirem:
I)