Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício: a gente precisa esboçar o gráfico da função
. Para fazer isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para entender melhor o comportamento da curva. Vamos precisar achar pontos-chave como interceptações, intervalos de crescimento e decrescimento, além de pontos de inflexão. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as interceptações com os eixos.
-
Interceptação com o eixo y: Isso acontece quando
. Substituindo na função: Então, a interceptação com o eixo y é no ponto. -
Interceptações com o eixo x: Isso ocorre quando
. Vamos resolver a equação: Podemos fatorar:Solucionando:A segunda equação é:Então, as interceptações com o eixo x sãoe .
Passo 3
Agora, vamos descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar a primeira derivada:
Vamos encontrar os pontos críticos onde
:
Agora, vamos fazer uma análise de sinal:
-
Para
, escolha : -
Para
, escolha : -
Para
, escolha :
Então, a função está crescendo antes de
, decrescendo entre
e
, e crescendo novamente após
.
Passo 4
Vamos agora investigar a concavidade da função usando a segunda derivada:
Encontramos os pontos de inflexão onde
:
Vamos analisar o sinal da segunda derivada:
-
Para
, escolha : -
Para
, escolha :
Assim, em
ocorre um ponto de inflexão, mudando a concavidade da função.
Passo 5
Vamos resumir os pontos que encontramos:
- Interceptação com o eixo y:
- Interceptações com o eixo x:
e - Ponto crítico em
: A função muda de crescente para decrescente. - Ponto crítico em
: A função muda de decrescente para crescente. - Ponto de inflexão em
: A concavidade muda de para baixo para para cima.
Resposta
Com base nos passos acima, o esboço do gráfico da função
apresenta interceptações em
e
, cresce antes de
, decresce entre
e
, cresce novamente após
, e possui um ponto de inflexão em
onde a concavidade muda. Assim, traçando esses pontos e considerando o comportamento da função, conseguimos esboçar a curva desejada.
Exercícios relacionados
Use a regra da cadeia para achar
e
.
.
Resolva as seguintes equações diferenciais de primeira ordem:
Calcule os limites abaixo, se existirem:
f)
f)
Calcule os limites abaixo, se existirem:
I)
I)