Use a regra da cadeia para achar partial zpartial s e partial zpartial t. z=x^2 sen y, x=s^2 t, y=s t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre cálculo de derivadas parciais usando a Regra da Cadeia. A gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas:
Para resolver, vamos aplicar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a calcular derivadas de funções compostas.

Passo 2

Vamos começar encontrando partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s . Pela Regra da Cadeia, temos:
partial zpartial s = (2x sin y)(2s t) + (x^2 cos y)(t)
Primeiro, calculamos cada derivada parcial:
  • (derivando em relação a )
  • (derivando em relação a )
  • (derivando em relação a )
  • (derivando em relação a )
Agora, substituímos essas expressões na fórmula:

Passo 3

Agora, vamos calcular partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t também pela Regra da Cadeia:
partial zpartial t = (2x sin y)(s^2) + (x^2 cos y)(s)
Calculamos cada derivada parcial:
  • (derivando em relação a )
  • (derivando em relação a )
Substituindo na fórmula:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial s = 4s t x sin y + x^2 t cos y
e
partial zpartial t = 2 s^2 x sin y + s x^2 cos y

Exercícios relacionados