Calcule os limites abaixo, se existirem:
p) lim x 1^-(arc cos x)(ln (1-x))

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos lidando com limites que envolvem funções trigonométricas inversas ( ) e funções logarítmicas ( ). Para resolver isso, precisamos entender como cada função se comporta quando se aproxima de 1 pela esquerda.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar . A função dá o ângulo cujo cosseno é . Sabemos que , então, conforme se aproxima de 1, se aproxima de 0.

Passo 3

Agora, vamos olhar para . Quando se aproxima de 1 pela esquerda, se aproxima de 0 positivo. O logaritmo natural de um número que se aproxima de 0 positivo tende a . Portanto, tende a .

Passo 4

Estamos lidando com um produto onde e . Isso nos dá uma forma indeterminada de . Para resolver isso, podemos reescrever o limite de uma forma que possamos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 5

Vamos reescrever o limite:
limx 1^- arccos x cdot ln(1 - x) = limx 1^- ln(1 - x)1arccos x
Agora, temos uma forma , que é uma forma indeterminada apropriada para aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 6

Aplicamos a regra de L’Hôpital, que diz que se limx 1^- ln(1 - x)1arccos x = limx 1^- ddx ln(1 - x)ddx (1arccos x) resulta em uma forma indeterminada, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:

Passo 7

Calculamos as derivadas:
  • A derivada de limx 1^- -11 - x-1(arccos x)^2 raiz1 - x^2 = limx 1^- (arccos x)^2 raiz1 - x^21 - x é .
  • A derivada de é .
Então, temos:

Passo 8

Simplificamos a expressão:
(arccos x)^2 raiz1 - x^21 - x = (arccos x)^2 cdot raiz1 - x^21 - x
Note que (arccos x)^2 cdot raiz1 - x cdot raiz1 + x1 - x = (arccos x)^2 cdot raiz1 + xraiz1 - x .
Então:

Passo 9

Vamos agora analisar o comportamento de cada parte conforme (raiz2(1 - x))^2 cdot raiz2raiz1 - x = 2(1 - x) cdot raiz2raiz1 - x = 2raiz2 cdot raiz1 - x :
  • (usando a aproximação para pequenos ).
  • , já que .
  • permanece como está.
Substituindo na expressão:

Passo 10

Agora, ao tomar o limite conforme 2raiz2 cdot raiz1 - x 0 :
Portanto, o limite original também tende a 0.

Resposta

limx 1^-(arccos x)(ln (1-x)) = 0

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