Calcule os limites abaixo, se existirem:
p)
p)
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Aqui, estamos lidando com limites que envolvem funções trigonométricas inversas (
) e funções logarítmicas (
). Para resolver isso, precisamos entender como cada função se comporta quando
se aproxima de 1 pela esquerda.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar
. A função
dá o ângulo cujo cosseno é
. Sabemos que
, então, conforme
se aproxima de 1,
se aproxima de 0.
Passo 3
Agora, vamos olhar para
. Quando
se aproxima de 1 pela esquerda,
se aproxima de 0 positivo. O logaritmo natural de um número que se aproxima de 0 positivo tende a
. Portanto,
tende a
.
Passo 4
Estamos lidando com um produto onde
e
. Isso nos dá uma forma indeterminada de
. Para resolver isso, podemos reescrever o limite de uma forma que possamos aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 5
Vamos reescrever o limite:
Agora, temos uma forma
, que é uma forma indeterminada apropriada para aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 6
Aplicamos a regra de L’Hôpital, que diz que se
resulta em uma forma indeterminada, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:
Passo 7
Calculamos as derivadas:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então, temos:
Passo 8
Simplificamos a expressão:
Note que
.
Então:
Passo 9
Vamos agora analisar o comportamento de cada parte conforme
:
-
(usando a aproximação para pequenos ). -
, já que . -
permanece como está.
Substituindo na expressão:
Passo 10
Agora, ao tomar o limite conforme
:
Portanto, o limite original também tende a 0.
Resposta
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f)
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s)
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4
Resolva as seguintes integrais:
a)
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