Mostre que :
a) integral0^9 2 x(x^2-9)^2 / 3 d x=9 raiz[3]9.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a integral definida de no intervalo de 0 a 9 é igual a . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especialmente integração por substituição. Vamos precisar usar uma substituição inteligente para facilitar a integraçăo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observando o denominador u = x^2 - 9 , podemos notar que a expressão é uma boa candidata para substituição. Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx em relação a para substituir o diferencial :
Perfeito, o numerador da nossa integral contém , que é exatamente .

Passo 4

Com essa substituição, podemos reescrever a integral em termos de integral 2x(x^2 - 9)^2/3 dx = integral duu^2/3 :

Passo 5

Agora, simplificamos a integral em termos de integral duu^2/3 = integral u^-2/3 du :

Passo 6

Vamos integrar integral u^-2/3 du = u^1/31/3 + C = 3u^1/3 + C em relação a . A integral de é , desde que :

Passo 7

Agora, voltamos à variável original 3u^1/3 + C = 3(x^2 - 9)^1/3 + C substituindo :

Passo 8

Como estamos lidando com uma integral definida de 0 a 9, não precisamos do termo de constante [ 3(x^2 - 9)^1/3 ]0^9 . Então, nossa expressão integrada fica:

Passo 9

Agora, avaliamos a expressão nos limites de integração:
Para 3(9^2 - 9)^1/3 = 3(81 - 9)^1/3 = 3(72)^1/3 :
3(0^2 - 9)^1/3 = 3(-9)^1/3 = 3(-raiz[3]9)
Para :

Passo 10

Calcular a diferença:
3(72)^1/3 - 3(-raiz[3]9) = 3(72)^1/3 + 3raiz[3]9
Sabemos que 72^1/3 = (8 times 9)^1/3 = 8^1/3 times 9^1/3 = 2 times raiz[3]9 , então:
3 times 2 raiz[3]9 + 3raiz[3]9 = 6raiz[3]9 + 3raiz[3]9 = 9raiz[3]9
Portanto:

Resposta

integral0^9 2x(x^2-9)^2 / 3 dx = 9 raiz[3]9

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