Mostre que :
a) .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a integral definida de no intervalo de 0 a 9 é igual a . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especialmente integração por substituição. Vamos precisar usar uma substituição inteligente para facilitar a integraçăo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observando o denominador , podemos notar que a expressão é uma boa candidata para substituição. Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a para substituir o diferencial :
Perfeito, o numerador da nossa integral contém , que é exatamente .

Passo 4

Com essa substituição, podemos reescrever a integral em termos de :

Passo 5

Agora, simplificamos a integral em termos de :

Passo 6

Vamos integrar em relação a . A integral de é , desde que :

Passo 7

Agora, voltamos à variável original substituindo :

Passo 8

Como estamos lidando com uma integral definida de 0 a 9, não precisamos do termo de constante . Então, nossa expressão integrada fica:

Passo 9

Agora, avaliamos a expressão nos limites de integração:
Para :
Para :

Passo 10

Calcular a diferença:
Sabemos que , então:
Portanto:

Resposta

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Calcule os limites abaixo, se existirem:
v)
Calcule os limites abaixo, se existirem:
k)
Resolva as seguintes integrais:
c)
Resolva as seguintes integrais:
m)