Mostre que :
a)
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a integral definida de
no intervalo de 0 a 9 é igual a
. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especialmente integração por substituição. Vamos precisar usar uma substituição inteligente para facilitar a integraçăo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observando o denominador
, podemos notar que a expressão
é uma boa candidata para substituição. Vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para substituir o diferencial
:
Perfeito, o numerador da nossa integral contém
, que é exatamente
.
Passo 4
Com essa substituição, podemos reescrever a integral em termos de
:
Passo 5
Agora, simplificamos a integral em termos de
:
Passo 6
Vamos integrar
em relação a
. A integral de
é
, desde que
:
Passo 7
Agora, voltamos à variável original
substituindo
:
Passo 8
Como estamos lidando com uma integral definida de 0 a 9, não precisamos do termo de constante
. Então, nossa expressão integrada fica:
Passo 9
Agora, avaliamos a expressão nos limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 10
Calcular a diferença:
Sabemos que
, então:
Portanto:
Resposta
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Calcule os limites abaixo, se existirem:
v)
v)
Calcule os limites abaixo, se existirem:
k)
k)
Resolva as seguintes integrais:
c)
c)
Resolva as seguintes integrais:
m)
m)