Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
sumn=1^infty(35)^n+1;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a série . Nosso objetivo é verificar se essa série converge e, se sim, encontrar a soma dela. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de séries geométricas.

Passo 2

Uma série geométrica é uma soma de termos que têm uma razão constante entre si, ou seja, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por um número fixo, chamado de razão sumn=0^infty ar^n . A forma geral de uma série geométrica é:
S = a1 - r
onde:
  • é o primeiro termo da série,
  • é a razão da série.
Para que a série geométrica convirja, é necessário que o valor absoluto da razão seja menor que 1 ( ). Se essa condição for satisfeita, a soma da série pode ser calculada pela fórmula:

Passo 3

Vamos reescrever a série fornecida de forma que se assemelhe à forma padrão da série geométrica. A série que temos é:
sumn=1^infty(35)^n+1
Podemos simplificar o expoente:
(35)^n+1 = (35) cdot (35)^n
Assim, a série fica:
sumn=1^infty(35)^n+1 = (35) sumn=1^infty(35)^n

Passo 4

Agora, vamos identificar os valores de sumn=1^infty(35)^n e S = a1 - r = 351 - 35 = 3525 = 32 na nossa série. Observando a parte dentro da soma:
(35) cdot 32 = 910
Aqui, o primeiro termo quando é , então:
Como , a série geométrica converge. Aplicando a fórmula da soma:
Agora, lembrando que multiplicamos pela constante fora da soma:

Resposta

A série converge e sua soma é .

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