Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a série . Nosso objetivo é verificar se essa série converge e, se sim, encontrar a soma dela. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de séries geométricas.

Passo 2

Uma série geométrica é uma soma de termos que têm uma razão constante entre si, ou seja, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por um número fixo, chamado de razão . A forma geral de uma série geométrica é:
onde:
  • é o primeiro termo da série,
  • é a razão da série.
Para que a série geométrica convirja, é necessário que o valor absoluto da razão seja menor que 1 ( ). Se essa condição for satisfeita, a soma da série pode ser calculada pela fórmula:

Passo 3

Vamos reescrever a série fornecida de forma que se assemelhe à forma padrão da série geométrica. A série que temos é:
Podemos simplificar o expoente:
Assim, a série fica:

Passo 4

Agora, vamos identificar os valores de e na nossa série. Observando a parte dentro da soma:
Aqui, o primeiro termo quando é , então:
Como , a série geométrica converge. Aplicando a fórmula da soma:
Agora, lembrando que multiplicamos pela constante fora da soma:

Resposta

A série converge e sua soma é .

Exercícios relacionados

Calcule os limites abaixo, se existirem:
w)
Mostre que :
b)
Resolva o PVI utilizando transformada de Laplace: