Calcule os limites abaixo, se existirem:
lim x 0 x arcsen xx-sen x

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, uma parte fundamental do cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como funções como e se comportam quando se aproxima de 0. Vamos dar uma olhada nos passos para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de e perto de sen x = x - x^36 + O(x^5) . Sabemos que quando é muito pequeno, pode ser aproximado pela sua série de Taylor:
Isso significa que, para valores próximos de 0, .

Passo 3

Agora, vamos olhar para . A função inversa de também tem uma série de Taylor para valores próximos a 0:
Então, podemos aproximar quando arcsen x = x + x^36 + O(x^5) está perto de 0.

Passo 4

Vamos substituir essas aproximações na expressão original do limite:
Simplificando o numerador e o denominador:
x arcsen xx - sen x approx x (x + x^36)x - (x - x^36)

Passo 5

Agora, dividimos cada termo do numerador pelo denominador:
x^2x^36 + x^46x^36 = 6x^2x^3 + x^4x^3 = 6x + x

Passo 6

Agora, analisamos o limite quando limx to 0 ( 6x + x ) tende a 0:
O termo tende ao infinito quando se aproxima de 0, e tende a 0. Portanto, o limite é infinito.

Resposta

O limite não existe pois tende a .

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