Calcule os limites abaixo, se existirem:
Passo 1
Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, uma parte fundamental do cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como funções como e se comportam quando
se aproxima de 0. Vamos dar uma olhada nos passos para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de e perto de
. Sabemos que quando
é muito pequeno, pode ser aproximado pela sua série de Taylor:
Isso significa que, para valores próximos de 0, .
Passo 3
Agora, vamos olhar para . A função inversa de também tem uma série de Taylor para valores próximos a 0:
Então, podemos aproximar quando
está perto de 0.
Passo 4
Vamos substituir essas aproximações na expressão original do limite:
Simplificando o numerador e o denominador:
Passo 5
Agora, dividimos cada termo do numerador pelo denominador:
Passo 6
Agora, analisamos o limite quando
tende a 0:
O termo
tende ao infinito quando
se aproxima de 0, e
tende a 0. Portanto, o limite é infinito.
Resposta
O limite não existe pois tende a
.