Determine a derivada direcional da funçalo no ponto dado na direçalo do vetor v.
g(x, y, z) = (x + 2y + 3z)^12, (1, 1, 2), v = 2j - k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a derivada direcional da função no ponto , na direção do vetor . Isso está relacionado ao cálculo vetorial, mais especificamente ao conceito de derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto é a taxa de variação da função nessa direção específica. Para calcular isso, usamos o gradiente da função e o vetor direção.

Passo 3

O gradiente de uma função é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função. Ou seja:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas para a nossa função.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:

Passo 5

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Primeiro, calculamos nesse ponto:
Substituindo na expressão do gradiente:

Passo 6

Agora, precisamos normalizar o vetor direção . Isso significa transformar em um vetor unitário .
Primeiro, calculamos o comprimento de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 7

A derivada direcional é calculada pelo produto escalar do gradiente com o vetor unitário direção:
Simplificando:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor é:

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