Determine a derivada direcional da funçalo no ponto dado na direçalo do vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a derivada direcional da função
no ponto
, na direção do vetor
. Isso está relacionado ao cálculo vetorial, mais especificamente ao conceito de derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto é a taxa de variação da função nessa direção específica. Para calcular isso, usamos o gradiente da função e o vetor direção.
Passo 3
O gradiente de uma função
é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função. Ou seja:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas para a nossa função.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:
Passo 5
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
. Primeiro, calculamos
nesse ponto:
Substituindo na expressão do gradiente:
Passo 6
Agora, precisamos normalizar o vetor direção
. Isso significa transformar
em um vetor unitário
.
Primeiro, calculamos o comprimento de
:
Então, o vetor unitário é:
Passo 7
A derivada direcional é calculada pelo produto escalar do gradiente com o vetor unitário direção:
Simplificando:
Resposta
A derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
é: