(a) Determine o gradiente de
. (b) Calcule o gradiente no ponto
.
© Determine a taxa de variação de
na direçăo do vetor
.
© Determine a taxa de variação de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
e precisa fazer três coisas:
a) Encontrar o gradiente de
.
b) Calcular esse gradiente no ponto
.
c) Determinar a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente e a derivada direcional. Vamos por partes!
Passo 2
a) Determinar o gradiente de
.
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação às suas variáveis. Ele aponta na direção de maior crescimento da função.
Para a função
, vamos calcular as derivadas parciais:
- Derivada parcial em relação a
: - Derivada parcial em relação a
: - Derivada parcial em relação a
:
Então, o gradiente de
é:
Passo 3
b) Calcular o gradiente no ponto
.
Agora, precisamos avaliar o gradiente que encontramos no ponto
. Vamos substituir
,
e
na expressão do gradiente.
Mas olha só, o gradiente que encontramos é
. Perceba que ele não depende de
,
ou
. Isso significa que o gradiente é o mesmo em qualquer ponto do espaço.
Portanto, no ponto
:
Passo 4
c) Determinar a taxa de variação de
em
na direção do vetor
.
A taxa de variação de uma função na direção de um vetor
é dada pela derivada direcional, que pode ser calculada usando o gradiente de
e o vetor unitário
.
A fórmula é:
Onde
representa o produto escalar.
Sabemos que:
E o vetor
já é um vetor unitário (ou seja, tem comprimento 1).
Vamos calcular o produto escalar:
Resposta
a)
b)
c) A taxa de variação de
em
na direção de
é