(a) Determine o gradiente de f. (b) Calcule o gradiente no ponto P.
© Determine a taxa de variação de f em P na direçăo do vetor u.
f(x, y, z) = x * e^(2 * pi), P(3, 0, 2), u = <2/3, -2/3, 1/3>

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e precisa fazer três coisas:
a) Encontrar o gradiente de .
b) Calcular esse gradiente no ponto .
c) Determinar a taxa de variação de em na direção do vetor .
Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente e a derivada direcional. Vamos por partes!

Passo 2

a) Determinar o gradiente de .
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação às suas variáveis. Ele aponta na direção de maior crescimento da função.
Para a função , vamos calcular as derivadas parciais:
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente de é:

Passo 3

b) Calcular o gradiente no ponto .
Agora, precisamos avaliar o gradiente que encontramos no ponto . Vamos substituir , e na expressão do gradiente.
Mas olha só, o gradiente que encontramos é . Perceba que ele não depende de , ou . Isso significa que o gradiente é o mesmo em qualquer ponto do espaço.
Portanto, no ponto :

Passo 4

c) Determinar a taxa de variação de em na direção do vetor .
A taxa de variação de uma função na direção de um vetor é dada pela derivada direcional, que pode ser calculada usando o gradiente de e o vetor unitário .
A fórmula é:
Onde representa o produto escalar.
Sabemos que:
E o vetor já é um vetor unitário (ou seja, tem comprimento 1).
Vamos calcular o produto escalar:

Resposta

a)
b)
c) A taxa de variação de em na direção de é

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