Verifique a convergência das seguintes integrais:
r)
r)
Passo 1
Beleza, vamos analisar a questão que você me enviou. Temos a integral:
Nosso objetivo aqui é verificar se essa integral converge, ou seja, se ela tem um valor finito. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais impróprias e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que a função que estamos integrando, , é uma função par. Isso significa que ela é simétrica em relação ao eixo y, ou seja,
. Devido a essa simetria, podemos simplificar a integral de
a
para duas vezes a integral de 0 a
:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento da função quando
tende ao infinito. Sabemos que e
são sempre menores ou iguais a 1. Portanto:
Isso nos dá:
Passo 4
Agora, vamos comparar nossa integral com uma integral conhecida. Sabemos que:
Isso porque a integral de
de 1 a
diverge (é igual ao logaritmo de
que tende ao infinito). Como nossa função é maior ou igual a uma função que já diverge, podemos concluir que:
Mas, na verdade, sabemos que a função não diminui o suficiente para fazer a integral convergir.
Passo 5
Para ter certeza, podemos usar o Teste da Comparação. Sabemos que:
Como oscila entre 0 e 1, a integral comparativa
diverge, o que implica que a nossa integral original também diverge.
Resposta
A integral diverge, ou seja, não converge para um valor finito.
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f)
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w)
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Calcule os limites abaixo, se existirem:
a)
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