Verifique a convergência das seguintes integrais:
r) integral-infty^infty |sen x|+|cos x||x|+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos analisar a questão que você me enviou. Temos a integral:
Nosso objetivo aqui é verificar se essa integral converge, ou seja, se ela tem um valor finito. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais impróprias e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a função que estamos integrando, , é uma função par. Isso significa que ela é simétrica em relação ao eixo y, ou seja, integral-infty^infty |sen x| + |cos x||x| + 1 , dx = 2 integral0^infty |sen x| + |cos x|x + 1 , dx . Devido a essa simetria, podemos simplificar a integral de a para duas vezes a integral de 0 a :

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da função quando |sen x| + |cos x| <= 2 tende ao infinito. Sabemos que e |sen x| + |cos x|x + 1 <= 2x + 1 são sempre menores ou iguais a 1. Portanto:
Isso nos dá:

Passo 4

Agora, vamos comparar nossa integral com uma integral conhecida. Sabemos que:
integral0^infty 1x + 1 , dx = infty
Isso porque a integral de integral0^infty |sen x| + |cos x|x + 1 , dx >= integral0^infty 0x + 1 , dx = 0 de 1 a diverge (é igual ao logaritmo de que tende ao infinito). Como nossa função é maior ou igual a uma função que já diverge, podemos concluir que:
Mas, na verdade, sabemos que a função não diminui o suficiente para fazer a integral convergir.

Passo 5

Para ter certeza, podemos usar o Teste da Comparação. Sabemos que:
Como oscila entre 0 e 1, a integral comparativa |sen x| + |cos x|x + 1 >= |sen x|x + 1 diverge, o que implica que a nossa integral original também diverge.

Resposta

A integral diverge, ou seja, não converge para um valor finito.

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