Calcule os limites abaixo, se existirem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
Aqui estamos lidando com limites que envolvem logaritmos e potências. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de logaritmos e técnicas de limites, incluindo a Regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Sabemos que:
Então, nosso limite fica:
Mas como
quando
tende a
, podemos reescrever o limite como:
Passo 3
Note que temos uma expressão do tipo
, que é uma forma indeterminada. Para resolver esse tipo de limite, vamos usar uma técnica comum: tomar o logaritmo natural em ambos os lados para facilitar a manipulação.
Vamos chamar o limite de
:
Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
Agora, nosso objetivo é encontrar:
Passo 4
Vamos analisar o limite
. À medida que
se aproxima de 0 por valores positivos:
-
tende a -
também tende a - Então,
tende a ainda.
Portanto, temos uma forma indeterminada do tipo
. Para resolver isso, podemos reescrever a expressão como uma fração:
Agora, temos uma forma
, onde podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a
:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital:
Passo 6
Agora, vamos analisar o limite:
À medida que
tende a 0 por valores positivos:
-
tende a 0 -
tende a
Portanto, temos:
Passo 7
Voltando ao nosso limite original de
:
Para encontrar
, usamos a propriedade do logaritmo:
Resposta
O limite é igual a 1.