Calcule os limites abaixo, se existirem:
lim x 0^+[ln (1x)]^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
lim x 0^+[ln (1x)]^x
Aqui estamos lidando com limites que envolvem logaritmos e potências. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de logaritmos e técnicas de limites, incluindo a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Sabemos que:
ln(1x) = -ln(x)
Então, nosso limite fica:
lim x 0^+[-ln(x)]^x
Mas como lim x 0^+[ln(1x)]^x = lim x 0^+[ln(1x)]^x quando tende a , podemos reescrever o limite como:

Passo 3

Note que temos uma expressão do tipo L = [ln(1x)]^x , que é uma forma indeterminada. Para resolver esse tipo de limite, vamos usar uma técnica comum: tomar o logaritmo natural em ambos os lados para facilitar a manipulação.
Vamos chamar o limite de ln(L) = x cdot ln(ln(1x)) :
lim x 0^+ ln(L) = lim x 0^+ x cdot ln(ln(1x))
Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
Agora, nosso objetivo é encontrar:

Passo 4

Vamos analisar o limite x cdot ln(ln(1x)) = ln(ln(1x))1x . À medida que se aproxima de 0 por valores positivos:
  • tende a
  • também tende a
  • Então, tende a ainda.
Portanto, temos uma forma indeterminada do tipo . Para resolver isso, podemos reescrever a expressão como uma fração:
Agora, temos uma forma , onde podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a ddx ln(ln(1x)) = 1ln(1x) cdot (-1x) = -1x cdot ln(1x) :
Derivada do numerador:
ddx (1x) = -1x^2
Derivada do denominador:
lim x 0^+ ln(ln(1x))1x = lim x 0^+ -1x cdot ln(1x)-1x^2 = lim x 0^+ x^2x cdot ln(1x) = lim x 0^+ xln(1x)
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital:

Passo 6

Agora, vamos analisar o limite:
lim x 0^+ xln(1x)
À medida que lim x 0^+ xln(1x) = 0 tende a 0 por valores positivos:
  • tende a 0
  • tende a
Portanto, temos:

Passo 7

Voltando ao nosso limite original de lim x 0^+ ln(L) = 0 :
L = e^lim x 0^+ ln(L) = e^0 = 1
Para encontrar , usamos a propriedade do logaritmo:

Resposta

O limite é igual a 1.

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