Esboce o gráfico de
, incluindo na análise, caso existam:
- Os cruzamentos com os eixos coordenados;
- Os pontos críticos e o crescimento/decrescimento da função;
- O estudo da concavidade da função;
- O comportamento assintótico (assíntotas verticais e horizontais).
Passo 1
Beleza, vamos esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como cruzamentos com os eixos, pontos críticos para identificar onde a função cresce ou decresce, concavidade para ver se o gráfico está “curvado” pra cima ou pra baixo, e também analisar o comportamento assintótico para ver como a função se comporta quando
vai para mais ou menos infinito. Vamos precisar calcular derivadas e limites para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os cruzamentos com os eixos coordenados.
Cruzamento com o eixo y:
Para encontrar onde a função cruza o eixo y, calculamos :
Para encontrar onde a função cruza o eixo y, calculamos
Então, o cruzamento com o eixo y está no ponto
.
Cruzamento com o eixo x:
Para encontrar os cruzamentos com o eixo x, resolvemos :
Para encontrar os cruzamentos com o eixo x, resolvemos
Como
nunca é zero, a única solução é
. Portanto, o cruzamento com o eixo x também é no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos para saber onde a função muda de crescimento para decrescimento ou vice-versa.
Primeiro, calculamos a primeira derivada de
:
Usamos a regra do produto:
Agora, igualamos
a zero para encontrar os pontos críticos:
Como
nunca é zero, temos:
Então, os pontos críticos estão em
e
.
Análise de Crescimento e Decrescimento:
- Para
: Escolhemos - Para
: Escolhemos - Para
: Escolhemos
Então, a função cresce de
para
e decresce para
e
.
Passo 4
Vamos estudar a concavidade da função, ou seja, se o gráfico está “curvado” pra cima ou pra baixo. Para isso, calculamos a segunda derivada.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Aplicando a regra do produto novamente:
Calculando cada parte:
Então:
Fatorando:
Agora, analisamos os sinais de
:
-
sempre. - Então, o sinal de
depende de .
Encontramos onde
:
Análise de Concavidade:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Portanto, temos pontos de inflexão em
,
e
.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento assintótico da função, ou seja, o que acontece com
quando
tende para mais ou menos infinito, e se existem assíntotas verticais ou horizontais.
Assíntotas Verticais:
Assíntotas verticais ocorrem quando a função tende a em algum ponto finito de
. Observando
, não há valores de
que tornem a função indefinida ou que façam
tender para infinito em um ponto finito. Portanto, não há assíntotas verticais.
Assíntotas verticais ocorrem quando a função tende a
Assíntotas Horizontais:
Analisamos o limite de quando
tende para
e
:
Analisamos o limite de
Sabemos que
decai mais rapidamente que qualquer polinômio cresce. Então:
Portanto, a função tem uma assíntota horizontal em
.
Passo 6
Agora que analisamos todos os aspectos, vamos resumir para esboçar o gráfico:
- Cruzamento com os eixos: A função cruza os eixos x e y no ponto
. - Pontos críticos: Em
e , com máximo e mínimo locais. - A função cresce de
para e decresce para e .
- A função cresce de
- Concavidade:
- Concava para baixo em
, . - Concava para cima em
, . - Pontos de inflexão em
, , .
- Concava para baixo em
- Assíntotas: Assíntota horizontal em
, sem assíntotas verticais.
Resposta
Com base na análise, o gráfico de
apresenta:
- Cruzamento único no ponto
. - Máximos e mínimos locais em
e . - Concavidade alternando entre para cima e para baixo nos intervalos determinados.
- Assíntota horizontal em
.
O esboço do gráfico segue essas características, mostrando a função crescendo entre
e
, decrescendo fora desse intervalo, e se aproximando da linha
conforme
tende para
.