Esboce o gráfico de f, incluindo na análise, caso existam:
  • Os cruzamentos com os eixos coordenados;
  • Os pontos críticos e o crescimento/decrescimento da função;
  • O estudo da concavidade da função;
  • O comportamento assintótico (assíntotas verticais e horizontais).
f(x) = x e^(-x^2/2)

Passo 1

Beleza, vamos esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como cruzamentos com os eixos, pontos críticos para identificar onde a função cresce ou decresce, concavidade para ver se o gráfico está “curvado” pra cima ou pra baixo, e também analisar o comportamento assintótico para ver como a função se comporta quando vai para mais ou menos infinito. Vamos precisar calcular derivadas e limites para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os cruzamentos com os eixos coordenados.
Cruzamento com o eixo y:
Para encontrar onde a função cruza o eixo y, calculamos :
Então, o cruzamento com o eixo y está no ponto .
Cruzamento com o eixo x:
Para encontrar os cruzamentos com o eixo x, resolvemos :
Como nunca é zero, a única solução é . Portanto, o cruzamento com o eixo x também é no ponto .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos para saber onde a função muda de crescimento para decrescimento ou vice-versa.
Primeiro, calculamos a primeira derivada de :
Usamos a regra do produto:
Agora, igualamos a zero para encontrar os pontos críticos:
Como nunca é zero, temos:
Então, os pontos críticos estão em e .
Análise de Crescimento e Decrescimento:
  • Para : Escolhemos á
  • Para : Escolhemos á
  • Para : Escolhemos á
Então, a função cresce de para e decresce para e .

Passo 4

Vamos estudar a concavidade da função, ou seja, se o gráfico está “curvado” pra cima ou pra baixo. Para isso, calculamos a segunda derivada.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Aplicando a regra do produto novamente:
Calculando cada parte:
Então:
Fatorando:
Agora, analisamos os sinais de :
  • sempre.
  • Então, o sinal de depende de .
Encontramos onde :
Análise de Concavidade:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Portanto, temos pontos de inflexão em , e .

Passo 5

Vamos analisar o comportamento assintótico da função, ou seja, o que acontece com quando tende para mais ou menos infinito, e se existem assíntotas verticais ou horizontais.
Assíntotas Verticais:
Assíntotas verticais ocorrem quando a função tende a em algum ponto finito de . Observando , não há valores de que tornem a função indefinida ou que façam tender para infinito em um ponto finito. Portanto, não há assíntotas verticais.
Assíntotas Horizontais:
Analisamos o limite de quando tende para e :
Sabemos que decai mais rapidamente que qualquer polinômio cresce. Então:
Portanto, a função tem uma assíntota horizontal em .

Passo 6

Agora que analisamos todos os aspectos, vamos resumir para esboçar o gráfico:
  • Cruzamento com os eixos: A função cruza os eixos x e y no ponto .
  • Pontos críticos: Em e , com máximo e mínimo locais.
    • A função cresce de para e decresce para e .
  • Concavidade:
    • Concava para baixo em , .
    • Concava para cima em , .
    • Pontos de inflexão em , , .
  • Assíntotas: Assíntota horizontal em , sem assíntotas verticais.

Resposta

Com base na análise, o gráfico de apresenta:
  • Cruzamento único no ponto .
  • Máximos e mínimos locais em e .
  • Concavidade alternando entre para cima e para baixo nos intervalos determinados.
  • Assíntota horizontal em .
O esboço do gráfico segue essas características, mostrando a função crescendo entre e , decrescendo fora desse intervalo, e se aproximando da linha conforme tende para .

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