Determine uma expressão para a reta tangente à curva no ponto P indicado abaixo (não se esqueça de verificar se o ponto dado pertence à curva):
ln(cos(x^2 * y^3)) + x^2 * e^y + arctan(y / x) = y + 1, P = (1, 0)

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O que você precisa fazer aqui é encontrar a reta tangente à curva definida pela equação
no ponto . Primeiro, vamos verificar se o ponto P realmente pertence à curva. Para isso, vamos substituir x = 1 e na equação e ver se a igualdade se mantém. Depois, vamos usar derivação implícita para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto e, por fim, escrever a equação da reta tangente.

Passo 2

Vamos verificar se o ponto está na curva. Substituindo x = 1 e na equação:
Simplificando termo a termo:
Então:
Como , temos:
Confirmação: O ponto pertence à curva.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada usando derivação implícita, já que a equação está dada de forma implícita (não está isolada y).
A equação é:
Vamos derivar ambos os lados em relação a x:
  1. Derivada de :
    • A derivada de é .
    • , então .
    • Usando a regra do produto para :
      • Então,
  2. Derivada de :
    • Usando a regra do produto:
      • Então,
  3. Derivada de :
    • A derivada de é .
    • , então
    • Então, a derivada completa é
  4. Derivada de :
    • Portanto,
Colocando tudo junto:
Isso parece meio complicado, mas vamos simplificar na hora de calcular no ponto . Observe que em , muitos termos se anulam.

Passo 4

Vamos simplificar a derivada no ponto . Substituindo x = 1 e na expressão derivada:
  1. Termo :
    • , então
    • , então todo esse termo vira 0
  2. Termo :
  3. Termo :
  4. Termo :
    • , então
    • Portanto, esse termo fica
  5. Do lado direito da equação:
Agora, substituindo tudo na equação derivada:
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:
Então:

Passo 5

Agora que encontramos a derivada no ponto , sabemos que a inclinação da reta tangente é .
A equação da reta tangente que passa pelo ponto com inclinação m é dada por:
Substituindo , e :
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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