Determine uma expressão para a reta tangente à curva no ponto
indicado abaixo (não se esqueça de verificar se o ponto dado pertence à curva):
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O que você precisa fazer aqui é encontrar a reta tangente à curva definida pela equação
no ponto
. Primeiro, vamos verificar se o ponto
realmente pertence à curva. Para isso, vamos substituir
e
na equação e ver se a igualdade se mantém. Depois, vamos usar derivação implícita para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto e, por fim, escrever a equação da reta tangente.
Passo 2
Vamos verificar se o ponto
está na curva. Substituindo
e
na equação:
Simplificando termo a termo:
Então:
Como
, temos:
✅ Confirmação: O ponto
pertence à curva.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada
usando derivação implícita, já que a equação está dada de forma implícita (não está isolada
).
A equação é:
Vamos derivar ambos os lados em relação a
:
-
Derivada de
: - A derivada de
é . -
, então . - Usando a regra do produto para
: -
-
- Então,
-
- A derivada de
-
Derivada de
: - Usando a regra do produto:
-
-
- Então,
-
- Usando a regra do produto:
-
Derivada de
: - A derivada de
é . -
, então - Então, a derivada completa é
- A derivada de
-
Derivada de
: -
-
- Portanto,
-
Colocando tudo junto:
Isso parece meio complicado, mas vamos simplificar na hora de calcular no ponto
. Observe que em
, muitos termos se anulam.
Passo 4
Vamos simplificar a derivada no ponto
. Substituindo
e
na expressão derivada:
-
Termo
: -
-
, então -
, então todo esse termo vira 0
-
-
Termo
: -
-
Termo
: -
-
Termo
: -
, então -
- Portanto, esse termo fica
-
-
Do lado direito da equação:
-
Agora, substituindo tudo na equação derivada:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Então:
Passo 5
Agora que encontramos a derivada
no ponto
, sabemos que a inclinação da reta tangente é
.
A equação da reta tangente que passa pelo ponto
com inclinação
é dada por:
Substituindo
,
e
:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente é
.