Determine os pontos de máximo e mínimo globais (se existirem) da função no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo globais da função
no intervalo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas para identificar os pontos críticos onde esses máximos e mínimos podem ocorrer.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender onde a função está crescendo ou diminuindo.
A função dada é:
Aplicando a regra do produto para derivar
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos são candidatos a serem máximos ou mínimos.
Igualando a derivada a zero:
Sabemos que
nunca é zero para nenhum valor real de
. Portanto, igualamos o que está dentro do parênteses a zero:
Mas como nosso intervalo é
, consideramos apenas
.
Passo 4
Vamos verificar se
é um ponto de máximo ou mínimo.
Para isso, analisamos o sinal da derivada antes e depois de
:
-
Para
(mas maior ou igual a 1 pelo intervalo), a derivada será positiva porque . -
Para
, , então a derivada será negativa.
Isso significa que a função passa de crescente para decrescente em
, indicando que
é um ponto de máximo.
Passo 5
Vamos calcular o valor de
em
para encontrar o valor do máximo:
Além disso, ao analisarmos o comportamento para
indo para
, vemos que:
Isso significa que a função se aproxima de zero, mas nunca atinge um valor mínimo no intervalo dado.
Resposta
A função
possui um ponto de máximo global no ponto
com valor aproximado
. Não há ponto de mínimo global no intervalo
.