Determine os pontos de máximo e mínimo globais (se existirem) da função no intervalo [1, +infinito).
f(x) = x e^(-x^2/2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo globais da função no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas para identificar os pontos críticos onde esses máximos e mínimos podem ocorrer.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender onde a função está crescendo ou diminuindo.
A função dada é:
Aplicando a regra do produto para derivar :

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos são candidatos a serem máximos ou mínimos.
Igualando a derivada a zero:
Sabemos que nunca é zero para nenhum valor real de . Portanto, igualamos o que está dentro do parênteses a zero:
Mas como nosso intervalo é , consideramos apenas .

Passo 4

Vamos verificar se é um ponto de máximo ou mínimo.
Para isso, analisamos o sinal da derivada antes e depois de :
  • Para (mas maior ou igual a 1 pelo intervalo), a derivada será positiva porque .
  • Para , , então a derivada será negativa.
Isso significa que a função passa de crescente para decrescente em , indicando que é um ponto de máximo.

Passo 5

Vamos calcular o valor de em para encontrar o valor do máximo:
Além disso, ao analisarmos o comportamento para indo para , vemos que:
Isso significa que a função se aproxima de zero, mas nunca atinge um valor mínimo no intervalo dado.

Resposta

A função possui um ponto de máximo global no ponto com valor aproximado . Não há ponto de mínimo global no intervalo .

Exercícios relacionados