Determine os pontos de máximo e mínimo globais (se existirem) da função no intervalo [-1, 2].
f(x) = x e^(-x^2/2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é encontrar os pontos de máximo e mínimo globais da função no intervalo de a . Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente de derivadas e análise de funções para identificar seus pontos extremos. Vamos precisar achar a derivada da função, encontrar onde ela é zero ou não existe (chamados de pontos críticos) e então verificar esses pontos juntamente com as extremidades do intervalo para determinar os máximos e mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de uma multiplicação de duas funções é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda. Então:
Sabemos que e para a segunda parte, usamos a regra da cadeia:
Então, substituindo de volta:
Podemos fatorar :

Passo 3

Agora que temos a derivada , precisamos encontrar os pontos onde ela é igual a zero ou não existe. O expoente nunca é zero para quaisquer valores de , então a única parte que pode ser zero é :
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Agora, vamos avaliar a função nesses pontos críticos e também nas extremidades do intervalo, que são e .
Primeiro, calculamos :
Depois, :
E por último, :

Passo 5

Agora, com os valores calculados:
Podemos observar que é o maior valor entre eles, então é o ponto de máximo global no intervalo . Já é o menor valor, então é o ponto de mínimo global no mesmo intervalo.

Resposta

No intervalo , a função possui um máximo global em com valor aproximado de e um mínimo global em com valor aproximado de .

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