Determine os pontos de máximo e mínimo globais (se existirem) da função no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é encontrar os pontos de máximo e mínimo globais da função
no intervalo de
a
. Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente de derivadas e análise de funções para identificar seus pontos extremos. Vamos precisar achar a derivada da função, encontrar onde ela é zero ou não existe (chamados de pontos críticos) e então verificar esses pontos juntamente com as extremidades do intervalo para determinar os máximos e mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de uma multiplicação de duas funções é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda. Então:
Sabemos que
e para a segunda parte, usamos a regra da cadeia:
Então, substituindo de volta:
Podemos fatorar
:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, precisamos encontrar os pontos onde ela é igual a zero ou não existe. O expoente
nunca é zero para quaisquer valores de
, então a única parte que pode ser zero é
:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Agora, vamos avaliar a função
nesses pontos críticos e também nas extremidades do intervalo, que são
e
.
Primeiro, calculamos
:
Depois,
:
E por último,
:
Passo 5
Agora, com os valores calculados:
Podemos observar que
é o maior valor entre eles, então é o ponto de máximo global no intervalo
. Já
é o menor valor, então é o ponto de mínimo global no mesmo intervalo.
Resposta
No intervalo
, a função
possui um máximo global em
com valor aproximado de
e um mínimo global em
com valor aproximado de
.