Calcule os limites abaixo, se existirem:
m)
m)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando
se aproxima de 0 pela direita da expressão . Aqui estamos lidando com limites de funções logarítmicas que envolvem as funções trigonométricas seno () e tangente (). Para resolver isso, vamos precisar entender como e se comportam quando
está muito próximo de 0 e como isso afeta os logaritmos dessas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar as funções trigonométricas para valores de
muito pequenos. Sabemos que, para
próximo de 0:
Isso significa que, quando
está perto de 0, tanto quanto quase se comportam como
mesmo.
Passo 3
Agora, substituindo essas aproximações na expressão do limite, temos:
Isso simplifica para:
Passo 4
Mas queremos ter certeza de que essas aproximações são válidas para o nosso limite. Vamos analisar mais de perto como e se comportam quando
tende a 0.
Para , usamos a expansão em série de Taylor:
E para :
Isso mostra que, além do termo linear
, há termos de ordem cúbica, mas para
muito pequeno, esses termos são insignificantes em comparação com
.
Passo 5
Tomando o logaritmo dessas aproximações:
Isso reforça que, para
próximo a 0, os logaritmos de e são aproximadamente iguais a
.
Passo 6
Portanto, o limite fica:
Resposta
O limite é igual a 1.
Exercícios relacionados
Verifique a convergência das seguintes integrais:
y)
y)
Verifique a convergência das seguintes integrais:
p)
p)
Em cada item, esboce a curva descrita por equações paramétricas, indicando o sentido de crescimento do parâmetro.
(e) .
(e)
Calcule os limites abaixo, se existirem:
u)
u)