Calcule os limites abaixo, se existirem:
m) lim x 0^+ ln sen xln tg x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 pela direita da expressão . Aqui estamos lidando com limites de funções logarítmicas que envolvem as funções trigonométricas seno () e tangente (). Para resolver isso, vamos precisar entender como e se comportam quando está muito próximo de 0 e como isso afeta os logaritmos dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as funções trigonométricas para valores de sen x approx x e tg x approx x muito pequenos. Sabemos que, para próximo de 0:
Isso significa que, quando está perto de 0, tanto quanto quase se comportam como mesmo.

Passo 3

Agora, substituindo essas aproximações na expressão do limite, temos:
Isso simplifica para:
ln(sen x)ln(tg x) approx ln xln x

Passo 4

Mas queremos ter certeza de que essas aproximações são válidas para o nosso limite. Vamos analisar mais de perto como e se comportam quando sen x = x - x^36 + O(x^5) tende a 0.
Para , usamos a expansão em série de Taylor:
E para :
Isso mostra que, além do termo linear tg x = x + x^33 + O(x^5) , há termos de ordem cúbica, mas para muito pequeno, esses termos são insignificantes em comparação com .

Passo 5

Tomando o logaritmo dessas aproximações:
Isso reforça que, para ln(sen x) approx ln(x - x^36) approx ln x próximo a 0, os logaritmos de e são aproximadamente iguais a ln(tg x) approx ln(x + x^33) approx ln x .

Passo 6

Portanto, o limite fica:

Resposta

O limite é igual a 1.

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