Calcule os limites abaixo, se existirem:
m)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 pela direita da expressão . Aqui estamos lidando com limites de funções logarítmicas que envolvem as funções trigonométricas seno () e tangente (). Para resolver isso, vamos precisar entender como e se comportam quando está muito próximo de 0 e como isso afeta os logaritmos dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as funções trigonométricas para valores de muito pequenos. Sabemos que, para próximo de 0:
Isso significa que, quando está perto de 0, tanto quanto quase se comportam como mesmo.

Passo 3

Agora, substituindo essas aproximações na expressão do limite, temos:
Isso simplifica para:

Passo 4

Mas queremos ter certeza de que essas aproximações são válidas para o nosso limite. Vamos analisar mais de perto como e se comportam quando tende a 0.
Para , usamos a expansão em série de Taylor:
E para :
Isso mostra que, além do termo linear , há termos de ordem cúbica, mas para muito pequeno, esses termos são insignificantes em comparação com .

Passo 5

Tomando o logaritmo dessas aproximações:
Isso reforça que, para próximo a 0, os logaritmos de e são aproximadamente iguais a .

Passo 6

Portanto, o limite fica:

Resposta

O limite é igual a 1.

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Verifique a convergência das seguintes integrais:
y)
Verifique a convergência das seguintes integrais:
p)
Em cada item, esboce a curva descrita por equações paramétricas, indicando o sentido de crescimento do parâmetro.
(e) .
Calcule os limites abaixo, se existirem:
u)