Verifique a convergência das seguintes integrais:
p) integral0^4 1x^2-4 x+3 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é verificar se a integral converge ou não. Isso está relacionado ao estudo de integrais impróprias, que aparecem quando a função tem pontos onde ela não está definida dentro do intervalo de integração. Pra resolver, vamos precisar fatorar o denominador e analisar esses pontos problemáticos.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) . A gente procura dois números que multiplicados dão 3 e somados dão -4. Esses números são -1 e -3. Então:
integral0^4 1(x - 1)(x - 3) , dx
Assim, a integral fica:

Passo 3

Agora, observamos que o denominador se anula quando integral0^4 1(x - 1)(x - 3) , dx = integral0^1 1(x - 1)(x - 3) , dx + integral1^3 1(x - 1)(x - 3) , dx + integral3^4 1(x - 1)(x - 3) , dx e . Isso significa que a função está “explodindo” nesses pontos, tornando a integral imprópria. Para avaliar a convergência, vamos dividir a integral nesses pontos e calcular os limites:

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente usando frações parciais. A gente expressa 1(x - 1)(x - 3) = Ax - 1 + Bx - 3 como 1 = A(x - 3) + B(x - 1) :
1(x - 1)(x - 3) = -12(x - 1) + 12(x - 3)
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar e , escolhemos valores de :
  • Se :
  • Se :
Então:

Passo 5

Agora, vamos integrar cada parte:
integral ( -12(x - 1) + 12(x - 3) ) dx = -12 ln|x - 1| + 12 ln|x - 3| + C

Passo 6

Vamos calcular cada integral separadamente com os limites apropriados e avaliar os limites quando lima to 1^- [ -12 ln|a - 1| + 12 ln|a - 3| ] - [ -12 ln|0 - 1| + 12 ln|0 - 3| ] se aproxima de 1 e 3:
  1. De 0 a 1:
lima to 1^+ (similar ao acima) e limb to 3^- (similar)
  1. De 1 a 3:
limb to 3^+ [ -12 ln|4 - 1| + 12 ln|4 - 3| ] - [ -12 ln|b - 1| + 12 ln|b - 3| ]
  1. De 3 a 4:
Ao calcular esses limites, notamos que os termos e vão para ou , mas ao somar e subtrair, os termos divergentes se cancelam, resultando em valores finitos.

Resposta

A integral converge e seu valor é .

Exercícios relacionados