Verifique a convergência das seguintes integrais:
p)
p)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é verificar se a integral
converge ou não. Isso está relacionado ao estudo de integrais impróprias, que aparecem quando a função tem pontos onde ela não está definida dentro do intervalo de integração. Pra resolver, vamos precisar fatorar o denominador e analisar esses pontos problemáticos.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. A gente procura dois números que multiplicados dão 3 e somados dão -4. Esses números são -1 e -3. Então:
Assim, a integral fica:
Passo 3
Agora, observamos que o denominador se anula quando
e
. Isso significa que a função está “explodindo” nesses pontos, tornando a integral imprópria. Para avaliar a convergência, vamos dividir a integral nesses pontos e calcular os limites:
Passo 4
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente usando frações parciais. A gente expressa
como
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar
e
, escolhemos valores de
:
- Se
: - Se
:
Então:
Passo 5
Agora, vamos integrar cada parte:
Passo 6
Vamos calcular cada integral separadamente com os limites apropriados e avaliar os limites quando
se aproxima de 1 e 3:
- De 0 a 1:
- De 1 a 3:
- De 3 a 4:
Ao calcular esses limites, notamos que os termos
e
vão para
ou
, mas ao somar e subtrair, os termos divergentes se cancelam, resultando em valores finitos.
Resposta
A integral
converge e seu valor é
.