Verifique a convergência das seguintes integrais:
y)
y)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se a integral
converge ou não. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais impróprias, que são aquelas em que os limites de integração vão até o infinito ou a função tem algum ponto de descontinuidade. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções
e
se comportam quando
cresce sem limites.
Passo 2
Primeiramente, vamos analisar o comportamento da função integranda
quando
tende ao infinito. A função
decai exponencialmente à medida que
aumenta, ou seja, ela fica cada vez menor muito rápido. Já
cresce conforme o valor de
. Nosso objetivo é entender qual dessas duas tendências domina o comportamento da função integral.
Passo 3
Para verificar a convergência da integral, podemos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos permite comparar a função que estamos integrando com outra função cuja integral já sabemos se converge ou não. Se a função comparada for maior e a integral dela converge, então a nossa integral também converge.
Passo 4
Vamos comparar
com
. Note que
para
e para qualquer valor de
, porque
decai mais rápido que
e
cresce apenas polinomialmente. Sabemos que a integral
é uma integral exponencial que converge. Portanto, por comparação, a nossa integral
também converge.
Resposta
A integral
converge para qualquer valor real de
.
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p)
p)
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m)
m)
Calcule os limites abaixo, se existirem:
m)
m)
Em cada item, esboce a curva descrita por equações paramétricas, indicando o sentido de crescimento do parâmetro.
(e) .
(e)