Verifique a convergência das seguintes integrais:
y)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se a integral converge ou não. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais impróprias, que são aquelas em que os limites de integração vão até o infinito ou a função tem algum ponto de descontinuidade. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções e se comportam quando cresce sem limites.

Passo 2

Primeiramente, vamos analisar o comportamento da função integranda quando tende ao infinito. A função decai exponencialmente à medida que aumenta, ou seja, ela fica cada vez menor muito rápido. Já cresce conforme o valor de . Nosso objetivo é entender qual dessas duas tendências domina o comportamento da função integral.

Passo 3

Para verificar a convergência da integral, podemos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos permite comparar a função que estamos integrando com outra função cuja integral já sabemos se converge ou não. Se a função comparada for maior e a integral dela converge, então a nossa integral também converge.

Passo 4

Vamos comparar com . Note que para e para qualquer valor de , porque decai mais rápido que e cresce apenas polinomialmente. Sabemos que a integral é uma integral exponencial que converge. Portanto, por comparação, a nossa integral também converge.

Resposta

A integral converge para qualquer valor real de .

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Verifique a convergência das seguintes integrais:
p)
Verifique a convergência das seguintes integrais:
m)
Calcule os limites abaixo, se existirem:
m)
Em cada item, esboce a curva descrita por equações paramétricas, indicando o sentido de crescimento do parâmetro.
(e) .