Calcule os limites abaixo, se existirem:
u)
u)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando
se aproxima de
da expressão
. Isso envolve conhecimentos de limites, especialmente sobre como se comportam as funções quando
está muito próximo de zero. Vamos precisar entender como simplificar expressões e analisar cada parte do limite para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada termo da expressão separadamente quando
se aproxima de 0 pela direita (
).
-
Analisando
: - Quando
é muito pequeno, também é muito pequeno, então aproxima-se de . - Logo,
aproxima-se de .
- Quando
-
Analisando
: - Quando
se aproxima de 0 pela direita, cresce sem limite, ou seja, tende ao infinito positivo.
- Quando
Então, inicialmente parece que a expressão completa é algo como
, o que sugere que o limite tende a
. Mas vamos verificar isso de forma mais rigorosa.
Passo 3
Para entender melhor o comportamento da expressão, vamos reescrever
de uma maneira que facilite o cálculo do limite.
Vamos encontrar um denominador comum:
Agora, vamos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador para simplificar:
No numerador, temos uma diferença de quadrados:
Portanto, a expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos analisar o denominador dessa nova expressão quando
:
-
está próximo de 0. -
está próximo de 1. -
está próximo de .
Então, o denominador aproxima-se de:
Portanto, a expressão simplificada é aproximadamente:
Quando
,
tende a
.
Resposta
O limite é
.
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Em cada item, esboce a curva descrita por equações paramétricas, indicando o sentido de crescimento do parâmetro.
(e) .
(e)
Calcule os limites abaixo, se existirem:
m)
m)
Resolva as seguintes integrais:
d)
d)