Calcule os limites abaixo, se existirem:
u)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando se aproxima de da expressão . Isso envolve conhecimentos de limites, especialmente sobre como se comportam as funções quando está muito próximo de zero. Vamos precisar entender como simplificar expressões e analisar cada parte do limite para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada termo da expressão separadamente quando se aproxima de 0 pela direita ( ).
  1. Analisando :
    • Quando é muito pequeno, também é muito pequeno, então aproxima-se de .
    • Logo, aproxima-se de .
  2. Analisando :
    • Quando se aproxima de 0 pela direita, cresce sem limite, ou seja, tende ao infinito positivo.
Então, inicialmente parece que a expressão completa é algo como , o que sugere que o limite tende a . Mas vamos verificar isso de forma mais rigorosa.

Passo 3

Para entender melhor o comportamento da expressão, vamos reescrever de uma maneira que facilite o cálculo do limite.
Vamos encontrar um denominador comum:
Agora, vamos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador para simplificar:
No numerador, temos uma diferença de quadrados:
Portanto, a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos analisar o denominador dessa nova expressão quando :
  • está próximo de 0.
  • está próximo de 1.
  • está próximo de .
Então, o denominador aproxima-se de:
Portanto, a expressão simplificada é aproximadamente:
Quando , tende a .

Resposta

O limite é .

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Em cada item, esboce a curva descrita por equações paramétricas, indicando o sentido de crescimento do parâmetro.
(e) .
Calcule os limites abaixo, se existirem:
m)
Resolva as seguintes integrais:
d)