Calcule os limites abaixo, se existirem:
s) lim x 0 x arcsen xx-sen x

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse exercício envolve o estudo de limites que aparecem no cálculo diferencial, especialmente quando temos formas indeterminadas como . Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre as séries de Taylor, que são aproximações de funções próximas a um ponto, geralmente .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de e quando arcsen x = x + x^36 + O(x^5) está próximo de sen x = x - x^36 + O(x^5) . As séries de Taylor dessas funções próximas de são:
Aqui, representa termos de ordem superior que ficam muito pequenos quando se aproxima de .

Passo 3

Agora, substituímos essas aproximações na expressão original do limite:
Simplificando o numerador e o denominador:
x arcsen xx - sen x = x ( x + x^36 )x - ( x - x^36 )

Passo 4

Agora, dividimos cada termo do numerador pelo denominador:
x^2x^36 + x^46x^36 = 6x^2x^3 + 6x^46x^3 = 6x + x

Passo 5

Finalmente, vamos calcular o limite de cada termo quando limx 0 ( 6x + x ) tende a :
O termo tende ao infinito quando se aproxima de , e tende a . Portanto, o limite é dominado por , que vai para infinito.

Resposta

O limite não existe e tende ao infinito.

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