4
Resolva as seguintes integrais:
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo de integrais, especificamente integrais que envolvem funções arctangente e frações racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que ajuda a simplificar integrais envolvendo produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integração por partes. A fórmula é:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral vão ser e . No nosso caso, vamos escolher:

Passo 3

Agora, vamos encontrar e :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:

Passo 5

Notamos que a integral que apareceu no lado direito é a mesma que começamos a resolver. Chamemos essa integral de :
Então, temos:
Somando dos dois lados:
Portanto:

Passo 6

Agora, voltando à nossa integral definida de 0 a :
Calculando os limites:
  • Quando ,
  • Quando ,
Então:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Calcule os limites abaixo, se existirem:
s)
Calcule os limites abaixo, se existirem:
p)
Considere o sólido (infinito) gerado, pela rotação, em torno do eixo , da região (infinita) sob a curva . Que número é adequado para ser o volume desse sólido.
Verifique a convergência das seguintes integrais:
q)