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Resolva as seguintes integrais:
a) integral0^+infty arctg x1+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo de integrais, especificamente integrais que envolvem funções arctangente e frações racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que ajuda a simplificar integrais envolvendo produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral vão ser u = arctan x e dv = 11+x^2 , dx e . No nosso caso, vamos escolher:

Passo 3

Agora, vamos encontrar du = ddx (arctan x) , dx = 11+x^2 , dx e v = integral dv = integral 11+x^2 , dx = arctan x :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral arctan x1+x^2 , dx = uv - integral v , du = arctan x cdot arctan x - integral arctan x cdot 11+x^2 , dx
Simplificando:
integral arctan x1+x^2 , dx = (arctan x)^2 - integral (arctan x)1+x^2 , dx

Passo 5

Notamos que a integral que apareceu no lado direito é a mesma que começamos a resolver. Chamemos essa integral de I = integral arctan x1+x^2 , dx :
I = (arctan x)^2 - I
Então, temos:
2I = (arctan x)^2
Somando I = 12 (arctan x)^2 dos dois lados:
Portanto:

Passo 6

Agora, voltando à nossa integral definida de 0 a integral0^+infty arctan x1+x^2 , dx = 12 (arctan x)^2 |0^+infty :
12 ( ( pi2 )^2 - 0^2 ) = 12 cdot pi^24 = pi^28
Calculando os limites:
  • Quando ,
  • Quando ,
Então:

Resposta

O valor da integral é .

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