Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo de integrais, especificamente integrais que envolvem funções arctangente e frações racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que ajuda a simplificar integrais envolvendo produtos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a integração por partes. A fórmula é:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral vão ser e . No nosso caso, vamos escolher:
Passo 3
Agora, vamos encontrar e :
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Passo 5
Notamos que a integral que apareceu no lado direito é a mesma que começamos a resolver. Chamemos essa integral de :
Então, temos:
Somando dos dois lados:
Portanto:
Passo 6
Agora, voltando à nossa integral definida de 0 a :