Resolva as seguintes integrais:
d) integral-infty^+infty 1e^x+e^-x d x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a integral definida de -infty a +infty de 1e^x + e^-x , dx. Esse tipo de integral envolve funções exponenciais e é uma integral imprópria porque os limites são infinitos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que e^x + e^-x pode ser reescrito usando a função cosseno hiperbólico, que é definida por cosh(x) = e^x + e^-x2. Então, temos:
e^x + e^-x = 2,cosh(x)
Substituindo na integral:
integral-infty^+infty 1e^x + e^-x , dx = integral-infty^+infty 12,cosh(x) , dx

Passo 3

Podemos tirar a constante 12 para fora da integral, já que ela não depende de x:
12 integral-infty^+infty 1cosh(x) , dx

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral de 1cosh(x) de -infty a +infty. Essa integral é conhecida e tem o valor igual a pi. Ou seja:
integral-infty^+infty 1cosh(x) , dx = pi
Portanto:
12 times pi = pi2

Resposta

A integral vale pi2.

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