Calcule os limites abaixo, se existirem:
z) lim x 0(raiz9+x+14)^1 / senh x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício envolve conceitos de limites, funções exponenciais e séries de aproximação para funções próximas de zero. Para resolver, vamos precisar usar a aproximação de funções como a raiz quadrada e a função hiperbólica seno para valores pequenos de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Observe que raiz9+x approx 3 + x6 pode ser aproximado para valores de raiz9+x + 1 approx 3 + x6 + 1 = 4 + x6 próximos de 0. Usando a expansão em série de Taylor para , temos:
Portanto:

Passo 3

Agora, dividimos essa aproximação por 4:
raiz9+x + 14 approx 4 + x64 = 1 + x24
Então, a expressão dentro do limite fica aproximadamente quando está próximo de 0.

Passo 4

Agora, analisamos o expoente senh,x approx x . Sabemos que para 1senh,x approx 1x próximo de 0, a função hiperbólica seno pode ser aproximada por:
Portanto:

Passo 5

Substituindo as aproximações na expressão original, temos:
(1 + x24)^1x
Esse tipo de limite é conhecido e usamos a propriedade:
limx to 0 (1 + a x)^1x = e^a
onde .

Resposta

Assim, o limite é igual a .

Exercícios relacionados