Calcule os limites abaixo, se existirem:
z)
z)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício envolve conceitos de limites, funções exponenciais e séries de aproximação para funções próximas de zero. Para resolver, vamos precisar usar a aproximação de funções como a raiz quadrada e a função hiperbólica seno para valores pequenos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Observe que
pode ser aproximado para valores de
próximos de 0. Usando a expansão em série de Taylor para
, temos:
Portanto:
Passo 3
Agora, dividimos essa aproximação por 4:
Então, a expressão dentro do limite fica aproximadamente
quando
está próximo de 0.
Passo 4
Agora, analisamos o expoente
. Sabemos que para
próximo de 0, a função hiperbólica seno pode ser aproximada por:
Portanto:
Passo 5
Substituindo as aproximações na expressão original, temos:
Esse tipo de limite é conhecido e usamos a propriedade:
onde
.
Resposta
Assim, o limite é igual a
.