Resolva as seguintes integrais:
c) integral0^ln 2 x^-2 e^-1 / x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de cálculo integral, especificamente sobre integrais de funções que podem requerer substituição para serem resolvidas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição apropriada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observando a função dentro da integral, notamos que a parte pode ser complicada, mas se fizermos uma substituição inteligente, podemos simplificá-la.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável de substituição . Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir na integral.

Passo 4

Calculando a derivada de dudx = ddx (-1x) = 1x^2 em relação a :
Isso significa que .

Passo 5

Substituindo na integral original:
integral0^ln 2 e^-1/xx^2 , dx = integral e^u , du
Agora, a integral está muito mais simples: a integral de em relação a .

Passo 6

Integrando integral e^u , du = e^u + C em relação a :
Onde é a constante de integração, mas como estamos lidando com uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração posteriormente.

Passo 7

Voltando à variável original e^u = e^-1/x , temos:
e^-1/x |0^ln 2
Então, a integral definida fica:

Passo 8

Agora, aplicando os limites de integração:
Para e^-1/(ln 2) :
limx to 0^+ e^-1/x = e^-infty = 0
Para :
Isso porque, conforme se aproxima de 0 pela direita, tende para , e é 0.

Resposta

A integral vale .

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