Resolva as seguintes integrais:
c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de cálculo integral, especificamente sobre integrais de funções que podem requerer substituição para serem resolvidas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição apropriada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observando a função dentro da integral, notamos que a parte pode ser complicada, mas se fizermos uma substituição inteligente, podemos simplificá-la.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável de substituição . Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir na integral.

Passo 4

Calculando a derivada de em relação a :
Isso significa que .

Passo 5

Substituindo na integral original:
Agora, a integral está muito mais simples: a integral de em relação a .

Passo 6

Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração, mas como estamos lidando com uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração posteriormente.

Passo 7

Voltando à variável original , temos:
Então, a integral definida fica:

Passo 8

Agora, aplicando os limites de integração:
Para :
Para :
Isso porque, conforme se aproxima de 0 pela direita, tende para , e é 0.

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Mostre que :
a) .
Calcule os limites abaixo, se existirem:
v)
Resolva as seguintes integrais:
m)
Discuta a variação do parâmetro de modo que seja convergente a integral imprópria:
c)