Calcule os limites abaixo, se existirem:
y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite abaixo:
Matéria envolvida: Vamos usar conceitos de limites, especialmente quando a função tende ao infinito, e também vamos utilizar expansões de séries de Taylor para aproximar funções próximas de um ponto específico.
O que precisamos: Entender como se comportam as funções quando se aproxima de 2 pela direita ( ), e como simplificar expressões que envolvem indeterminações de forma ou .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada termo quando se aproxima de 2 pela direita.
  • Para :
    • Quando , e .
    • Então, .
  • Para :
    • Quando , .
    • Sabemos que , e para próximo de 1, pode ser aproximado por onde .
    • Assim, quando .
    • Portanto, .
Ambos os termos tendem a , mas precisamos ver como eles se comparam para encontrar o limite da diferença.

Passo 3

Para facilitar, vamos fazer uma substituição:
  • Seja . Assim, quando , .
Reescrevendo a expressão em termos de :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos aproximar usando a série de Taylor para perto de :
Para valores muito pequenos de , podemos considerar apenas os primeiros termos:
Então,
Aproximando até a primeira ordem:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão original:

Resposta

O limite é .

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Para a função , denote por como sendo a compos夜 -vezes, por exemplo, . Revisar
Calcule .
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Encontre uma expressão para a função :
Dica: Calcule e perceba o padrão.
Calcule os limites.
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