Calcule os limites abaixo, se existirem:
y)
y)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite abaixo:
Matéria envolvida: Vamos usar conceitos de limites, especialmente quando a função tende ao infinito, e também vamos utilizar expansões de séries de Taylor para aproximar funções próximas de um ponto específico.
O que precisamos: Entender como se comportam as funções quando
se aproxima de 2 pela direita (
), e como simplificar expressões que envolvem indeterminações de forma
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada termo quando
se aproxima de 2 pela direita.
-
Para
: - Quando
, e . - Então,
.
- Quando
-
Para
: - Quando
, . - Sabemos que
, e para próximo de 1, pode ser aproximado por onde . - Assim,
quando . - Portanto,
.
- Quando
Ambos os termos tendem a
, mas precisamos ver como eles se comparam para encontrar o limite da diferença.
Passo 3
Para facilitar, vamos fazer uma substituição:
- Seja
. Assim, quando , .
Reescrevendo a expressão em termos de
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos aproximar
usando a série de Taylor para
perto de
:
Para valores muito pequenos de
, podemos considerar apenas os primeiros termos:
Então,
Aproximando até a primeira ordem:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão original:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Para a função
, denote por
como sendo a compos夜
-vezes, por exemplo,
. Revisar
Calcule .
Calcule
Para a função
, denote por
como sendo a compos夜
-vezes, por exemplo,
. Revisar
Encontre uma expressão para a função :
Dica: Calcule e perceba o padrão.
Encontre uma expressão para a função
Dica: Calcule
Calcule os limites.
Calcule os limites.