Calcule os limites abaixo, se existirem:
y) lim x 2^+(x-1x-2-1ln (x-1))

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite abaixo:
lim x 2^+(x-1x-2-1ln (x-1))
Matéria envolvida: Vamos usar conceitos de limites, especialmente quando a função tende ao infinito, e também vamos utilizar expansões de séries de Taylor para aproximar funções próximas de um ponto específico.
O que precisamos: Entender como se comportam as funções quando se aproxima de 2 pela direita ( ), e como simplificar expressões que envolvem indeterminações de forma ou .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada termo quando se aproxima de 2 pela direita.
  • Para :
    • Quando , e .
    • Então, .
  • Para :
    • Quando , .
    • Sabemos que , e para próximo de 1, pode ser aproximado por onde .
    • Assim, quando .
    • Portanto, .
Ambos os termos tendem a , mas precisamos ver como eles se comparam para encontrar o limite da diferença.

Passo 3

Para facilitar, vamos fazer uma substituição:
  • Seja x-1x-2 - 1ln(x-1) = (2 + t) - 1t - 1ln(1 + t) . Assim, quando = 1 + tt - 1ln(1 + t) = 1t + 1 - 1ln(1 + t) , .
Reescrevendo a expressão em termos de :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos aproximar ln(1 + t) approx t - t^22 + t^33 - dots usando a série de Taylor para ln(1 + t) approx t - t^22 perto de 1ln(1 + t) approx 1t - t^22 = 1t(1 - t2) = 1t cdot (1 + t2 + (t2)^2 + dots) :
1ln(1 + t) approx 1t (1 + t2) = 1t + 12
Para valores muito pequenos de , podemos considerar apenas os primeiros termos:
Então,
Aproximando até a primeira ordem:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão original:
1t + 1 - (1t + 12) = 1t + 1 - 1t - 12 = 1 - 12 = 12

Resposta

O limite é .

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