Calcule os limites.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
Aqui estamos trabalhando com Cálculo de Limites, especificamente envolvendo funções logarítmicas e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada uma dessas funções se comporta quando
cresce sem limites.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando
vai para o infinito.
- Numerador (
): A função logarítmica cresce sem limites, mas de forma bem lenta. - Denominador (
): A função exponencial cresce muito rápido, muito mais rápido que qualquer função polinomial ou logarítmica.
Então, temos uma situação onde o numerador cresce indefinidamente, mas o denominador cresce ainda mais rápido. Isso sugere que o limite pode ser zero, mas vamos confirmar isso matematicamente.
Passo 3
Quando temos um limite da forma
, podemos usar a Regra de L’Hospital para facilitar a resolução. A regra diz que se temos:
Então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente:
No nosso caso,
é o infinito.
Passo 4
Vamos aplicar a Regra de L’Hospital:
Primeiro, derivamos o numerador e o denominador:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Então, nosso limite fica assim:
Passo 5
Agora, vamos analisar esse novo limite:
Aqui, o denominador
está crescendo muito rápido porque
domina, tornando todo o denominador muito grande. Então, o quociente inteiro tende a zero.
Resposta
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Calcule os limites.
Calcule os limites abaixo, se existirem:
y)
y)
Resolva as seguintes integrais:
b)
b)
Calcule os limites.