Calcule os limites.
lim x infty ln xe^3 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
lim x infty ln xe^3 x
Aqui estamos trabalhando com Cálculo de Limites, especificamente envolvendo funções logarítmicas e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada uma dessas funções se comporta quando cresce sem limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando vai para o infinito.
  • Numerador ( ): A função logarítmica cresce sem limites, mas de forma bem lenta.
  • Denominador ( ): A função exponencial cresce muito rápido, muito mais rápido que qualquer função polinomial ou logarítmica.
Então, temos uma situação onde o numerador cresce indefinidamente, mas o denominador cresce ainda mais rápido. Isso sugere que o limite pode ser zero, mas vamos confirmar isso matematicamente.

Passo 3

Quando temos um limite da forma limx to c f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty , podemos usar a Regra de L’Hospital para facilitar a resolução. A regra diz que se temos:
limx to c f'(x)g'(x)
Então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente:
No nosso caso, é o infinito.

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hospital:
Primeiro, derivamos o numerador e o denominador:
  • Derivada de lim x infty 1x3e^3x = lim x infty 13x e^3x é .
  • Derivada de é .
Então, nosso limite fica assim:

Passo 5

Agora, vamos analisar esse novo limite:
lim x infty 13x e^3x
Aqui, o denominador está crescendo muito rápido porque domina, tornando todo o denominador muito grande. Então, o quociente inteiro tende a zero.

Resposta

lim x infty ln xe^3 x = 0

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