Para a função f(x) = -x + 2, denote por f^(n)(x) como sendo a compos夜 n-vezes, por exemplo, f(3)(x) = f(f(f(x))). Revisar
Calcule f^(2024)(2024).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular , onde a função é . Isso envolve composição de funções, que é basicamente aplicar a função várias vezes seguidas. Para resolver isso, precisamos entender como a função se comporta quando composta várias vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa compor uma função. Compor duas vezes, por exemplo, é aplicar depois de aplicar de novo. Matemáticamente, isso é . Vamos calcular isso:

Passo 3

Agora, vamos substituir na função original:
Então, . Isso significa que quando compomos a função duas vezes, voltamos ao próprio .

Passo 4

Isso nos mostra que a função é uma função inversa de si mesma. Ou seja, aplicar a função duas vezes nos traz de volta ao valor original. Portanto, a cada par de composições, a função “zera” seu efeito.

Passo 5

Agora, vamos pensar em . Como 2024 é um número par, podemos dividir essa composição em 1012 pares de :
Cada par de cancela o outro:

Passo 6

Finalmente, substituímos por 2024:

Resposta

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