Para a função f(x) = -x + 2, denote por f^(n)(x) como sendo a compos夜 n-vezes, por exemplo, f(3)(x) = f(f(f(x))). Revisar
Encontre uma expressão para a função f^(2024)(x) :
Dica: Calcule f''(x), f'''(x) e perceba o padrão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma expressão para a função , que é a função composta 2024 vezes consigo mesma. Vamos precisar entender como funciona a composição de funções e identificar um padrão para facilitar nosso cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa compor a função consigo mesma. Compor uma função vezes significa aplicar a função uma após a outra vezes. Por exemplo:

  • E assim por diante.

Passo 3

Vamos calcular para ver o que acontece:
Legal! Vimos que aplicar a função duas vezes nos retorna ao original.

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Vimos que ao aplicar a função três vezes, voltamos à expressão original .

Passo 5

Vamos fazer mais um para ter certeza do padrão. Calculando :
Perfeito! A cada duas composições, retornamos ao original.

Passo 6

Observamos que a cada vez que compomos a função duas vezes, ela se “anula” e volta ao original:

  • E esse padrão se repete.

Passo 7

Como 2024 é um número par, podemos expressar 2024 como . Assim:
Porque cada par de composições retorna ao .

Resposta

Exercícios relacionados