Resolva as seguintes integrais:
n) integral0^+infty e^-t t^3 d t

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a integral . Isso está relacionado ao estudo de integrais envolvendo funções exponenciais e potências de . Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, que é uma forma de simplificar integrais de produtos de funções.

Passo 2

Vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, a gente escolhe partes da integral para serem e . Uma boa escolha facilita a resolução.

Passo 3

Na nossa integral u = t^3 Rightarrow du = 3t^2 , dt , vamos escolher:
dv = e^-t , dt Rightarrow v = -e^-t
integral e^-t t^3 , dt = -t^3 e^-t + 3 integral e^-t t^2 , dt
Agora, aplicando a fórmula:

Passo 4

Precisamos resolver agora u = t^2 Rightarrow du = 2t , dt . Vamos usar integração por partes de novo:
dv = e^-t , dt Rightarrow v = -e^-t
integral e^-t t^2 , dt = -t^2 e^-t + 2 integral e^-t t , dt
Aplicando:

Passo 5

Agora, resolvemos u = t Rightarrow du = dt usando integração por partes mais uma vez:
dv = e^-t , dt Rightarrow v = -e^-t
integral e^-t t , dt = -t e^-t + integral e^-t , dt = -t e^-t - e^-t
Aplicando:
integral e^-t t^2 , dt = -t^2 e^-t + 2(-t e^-t - e^-t) = -t^2 e^-t - 2t e^-t - 2e^-t
Substituindo de volta:
integral e^-t t^3 , dt = -t^3 e^-t + 3(-t^2 e^-t - 2t e^-t - 2e^-t) = -t^3 e^-t - 3t^2 e^-t - 6t e^-t - 6e^-t
E substituindo na integral original:

Resposta

A integral integral0^+infty e^-t t^3 , dt = 6 converge para . Portanto:

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