Calcule os limites abaixo:
(f) lim x 0^+(sen x)^x^2.

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites de funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e entender como funções se comportam quando se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o limite tirando o logaritmo natural. Isso nos ajuda a lidar com a potência de forma mais fácil. Vamos chamar o limite de L = limx to 0^+ (sen x)^x^2 :
Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 3

Agora, precisamos calcular . Sabemos que quando ln (sen x) approx ln x se aproxima de limx to 0^+ x^2 cdot ln x , se comporta como , ou seja, . Então:
Portanto, o limite fica:

Passo 4

Vamos analisar o comportamento de quando se aproxima de . Sabemos que:
  • tende a .
  • tende a .
Multiplicando por , precisamos verificar qual das duas tende mais rapidamente. Nesse caso, tende a mais rapidamente do que tende a , fazendo com que o produto tenda a .

Passo 5

Então, temos:
ln L = limx to 0^+ x^2 cdot ln x = 0
Para encontrar L = e^ln L = e^0 = 1 , usamos a propriedade inversa do logaritmo natural:

Resposta

O limite é igual a 1.

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