Calcule os limites abaixo:
(f)
.
(f)
Passo 1
Vamos calcular o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites de funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e entender como funções se comportam quando
se aproxima de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o limite tirando o logaritmo natural. Isso nos ajuda a lidar com a potência de forma mais fácil. Vamos chamar o limite de
:
Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 3
Agora, precisamos calcular . Sabemos que quando
se aproxima de
, se comporta como
, ou seja, . Então:
Portanto, o limite fica:
Passo 4
Vamos analisar o comportamento de
quando
se aproxima de
. Sabemos que:
-
tende a . -
tende a .
Multiplicando
por
, precisamos verificar qual das duas tende mais rapidamente. Nesse caso,
tende a
mais rapidamente do que
tende a
, fazendo com que o produto
tenda a
.
Passo 5
Então, temos:
Para encontrar
, usamos a propriedade inversa do logaritmo natural:
Resposta
O limite é igual a 1.
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