Encontre
usando diferenciação logarítimica.
(d)
(d)
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos a função:
E precisamos encontrar a derivada
usando diferenciação logarítmica. A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, especificamente a diferenciação de funções complexas que são produtos e quocientes de outras funções. Para resolver, vamos precisar aplicar propriedades dos logaritmos e regras de derivação.
Passo 2
A diferenciação logarítmica é uma técnica útil quando lidamos com funções que são produtos, quocientes ou têm expoentes variáveis. Vamos começar aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação para simplificar a expressão:
Passo 3
Agora, usamos as propriedades dos logaritmos para simplificar a expressão. Sabemos que:
Aplicando essas propriedades, temos:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se de que
pela regra da cadeia. Também aplicaremos as regras de derivação para cada termo:
Calculando cada derivada individualmente:
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Lembrando que
, substituímos esse valor na expressão:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão final:
Sabemos que
e
. Substituindo essas na expressão:
Simplificando os termos:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo:
(f) .
(f)
Calcule as derivadas de ordem superior.
(a)
(a)
Calcule as derivadas de ordem superior.
(b)
(b)
Determine a aproximação linear (linearização) de:
(a) em
.
(a)