Encontre usando diferenciação logarítimica.
(d)

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos a função:
E precisamos encontrar a derivada usando diferenciação logarítmica. A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, especificamente a diferenciação de funções complexas que são produtos e quocientes de outras funções. Para resolver, vamos precisar aplicar propriedades dos logaritmos e regras de derivação.

Passo 2

A diferenciação logarítmica é uma técnica útil quando lidamos com funções que são produtos, quocientes ou têm expoentes variáveis. Vamos começar aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação para simplificar a expressão:

Passo 3

Agora, usamos as propriedades dos logaritmos para simplificar a expressão. Sabemos que:
Aplicando essas propriedades, temos:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se de que pela regra da cadeia. Também aplicaremos as regras de derivação para cada termo:
Calculando cada derivada individualmente:
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :
Lembrando que , substituímos esse valor na expressão:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão final:
Sabemos que e . Substituindo essas na expressão:
Simplificando os termos:

Resposta

A derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados

Calcule os limites abaixo:
(f) .
Calcule as derivadas de ordem superior.
(a)
Calcule as derivadas de ordem superior.
(b)
Determine a aproximação linear (linearização) de:
(a) em .