Encontre a substituição correta para os limites
lim x x0 raiz[n]x-raiz[n]x0x-x0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um limite para resolver:
lim x x0 raiz[n]x-raiz[n]x0x-x0
Esse exercício está ligado ao cálculo de derivadas, especificamente usando a definição de limite para encontrar a derivada de uma função. Vamos precisar entender como manipular expressões com raízes e limites para simplificar e encontrar a substituição correta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a expressão que temos se parece muito com a definição da derivada de uma função no ponto f'(x0) = lim x x0 f(x) - f(x0)x - x0 = lim x x0 raiz[n]x-raiz[n]x0x-x0 . A função aqui é . A derivada dessa função em é dada por:
Então, nosso objetivo é encontrar uma maneira de simplificar essa fração para calcular o limite.

Passo 3

Para simplificar a expressão raiz[n]x - raiz[n]x0 = x - x0raiz[n]x^n-1 + raiz[n]x^n-2x0 + dots + raiz[n]x x0^n-2 , podemos usar uma técnica chamada de racionalização ou substituição adequada que nos ajuda a eliminar a raiz do numerador. Nesse caso, multiplicamos o numerador e o denominador por um fator que simplifique a expressão.
Uma substituição útil é reconhecer que:
Esse é um resultado derivado da diferença de potências, onde expandimos o numerador para facilitar a simplificação.

Passo 4

Aplicando essa substituição na nossa expressão original, temos:
raiz[n]x-raiz[n]x0x - x0 = 1raiz[n]x^n-1 + raiz[n]x^n-2x0 + dots + raiz[n]x x0^n-2
Agora, ao calcular o limite quando lim x x0 1raiz[n]x^n-1 + raiz[n]x^n-2x0 + dots + raiz[n]x x0^n-2 = 1n raiz[n]x0^n-1 se aproxima de , cada termo no denominador se simplifica, já que tende a :
Isso porque todos os termos no denominador se tornam iguais a , e há termos iguais.

Passo 5

Simplificando ainda mais, sabemos que 1n x0^n-1n = 1n x0^-n-1n = 1n 1raiz[n]x0^n-1 . Assim, a expressão final para o limite é:
Isso nos dá a derivada da função no ponto .

Resposta

A substituição correta para o limite é:
lim x x0 raiz[n]x-raiz[n]x0x-x0 = 1n raiz[n]x0^n-1

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