Encontre a substituição correta para os limites
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um limite para resolver:
Esse exercício está ligado ao cálculo de derivadas, especificamente usando a definição de limite para encontrar a derivada de uma função. Vamos precisar entender como manipular expressões com raízes e limites para simplificar e encontrar a substituição correta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a expressão que temos se parece muito com a definição da derivada de uma função no ponto
. A função aqui é
. A derivada dessa função em
é dada por:
Então, nosso objetivo é encontrar uma maneira de simplificar essa fração para calcular o limite.
Passo 3
Para simplificar a expressão
, podemos usar uma técnica chamada de racionalização ou substituição adequada que nos ajuda a eliminar a raiz do numerador. Nesse caso, multiplicamos o numerador e o denominador por um fator que simplifique a expressão.
Uma substituição útil é reconhecer que:
Esse é um resultado derivado da diferença de potências, onde expandimos o numerador para facilitar a simplificação.
Passo 4
Aplicando essa substituição na nossa expressão original, temos:
Agora, ao calcular o limite quando
se aproxima de
, cada termo no denominador se simplifica, já que
tende a
:
Isso porque todos os termos no denominador se tornam iguais a
, e há
termos iguais.
Passo 5
Simplificando ainda mais, sabemos que
. Assim, a expressão final para o limite é:
Isso nos dá a derivada da função
no ponto
.
Resposta
A substituição correta para o limite é:
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo
Faça a substituição para resolver o limite
Faça a substituição
Calcule os limites abaixo
Esboce a região de integração e faça a mudança da orde= de integração.
34.
34.
Encontre a substituição correta para os limites